Hans Freudenthal

Hans Freudenthal ( – ) était un mathématicien juif allemand, naturalisé néerlandais, spécialiste en topologie algébrique mais dont les contributions ont largement débordé ce domaine.

Pour les articles homonymes, voir Freudenthal.

Il s'intéressa à l'enseignement des mathématiques. Il fut président de l'ICMI (Commission internationale de l'enseignement mathématique) et une récompense portant son nom est attribuée[1]. On lui doit notamment le problème de Freudenthal, dans lequel « savoir que quelqu'un ne sait pas permet de savoir »[2].

Il inventa le Lincos : un nouveau langage destiné à permettre la communication avec d'éventuels extraterrestres[3].

Biographie

Hans Freudenthal est né le à Luckenwalde (Allemagne), où il passa son enfance et effectua ses études jusqu'au Gymnasium. Son père était enseignant[4]. Dès son enfance, il montra des dispositions pour les mathématiques, mais aussi un grand intérêt pour la littérature classique et la poésie. En 1923, il s'inscrivit à l'université de Berlin pour étudier les mathématiques et la physique. En 1927, il passa un semestre à Paris et rencontra Brouwer à Berlin. Il émigra en 1930 aux Pays-Bas, à Amsterdam, appelé par Brouwer qui en fit son assistant. Peu de temps après, il épousa Suus Lutter, une pédagogue néerlandaise[4]. Cela ne l'empêcha pas de terminer sa thèse à l'Université de Berlin, sous la direction de Heinz Hopf, en 1931. Le sujet en était les groupes topologiques : « Über die Enden topologischer Räume und Gruppen »[5]. C'est en 1937 qu'il démontra son théorème sur les suspensions.

Sa qualité de Juif lui valut d'être suspendu de son poste à l'Université d'Amsterdam pendant la Seconde Guerre mondiale. Comme sa femme était « aryenne », il ne fut pas déporté vers un camp de la mort, mais « seulement » vers un camp de travail, ce qui lui permit de survivre au nazisme.

À partir de 1946, il fut titulaire de la chaire de mathématiques pures et appliquées à l'université d'Utrecht, jusqu'en 1975. Sa méthode, en tant qu'enseignant, était d'introduire les concepts par la résolution de problèmes concrets ou de la vie courante. Il s'intéressa de plus en plus à l'éducation, jusqu'à créer un Institut (qui porte aujourd'hui son nom) à Utrecht, à lancer la revue Educational Studies in Mathematics (en) et à devenir le huitième président de l'ICMI (1967 à 1970) dont il a longtemps fait partie du comité exécutif (1963 à 1974).

Polyglotte (il parlait couramment néerlandais, allemand, russe, anglais, hébreu, latin, français, au moins)[6], il s'intéressa à de nombreux domaines au point d'être surnommé Homo Universalis par le président de l'Université d'Utrecht[6] lors de l'inauguration de l'Institut qui porte son nom.

Apports en éducation

En 1971, il créa le Instituut Ontwikkeling Wiskundeonderwijs (Institut pour le développement de l'enseignement des mathématiques) qui fut renommé Institut Freudenthal pour l'éducation aux sciences et mathématiques (en) à l'université d'Utrecht en 1991.

Le prix Hans Freudenthal distingue tous les deux ans depuis 2003 un auteur de recherches sur l’enseignement des mathématiques. Il est décerné par la Commission internationale de l’enseignement mathématique (CIEM) en son honneur.

Le problème de Freudenthal

Ce problème parut pour la première fois en néerlandais[7] dans la revue Nieuw Archief voor Wiskunde en 1969 (Série 3, Volume 17, 1969, page 152) dont Freudenthal était rédacteur de la rubrique « problèmes ». La solution a été publiée dans le volume suivant, en 1970. Il peut être énoncé ainsi[2] :

Problème de Freudenthal — On choisit deux entiers X et Y, avec 1 < X <Y et X + Y ≤ 100. On indique à Patricia le produit P de X et Y. On indique à Sylvie la somme S de X et Y. Le dialogue est alors le suivant :

  1. Patricia : « Je ne sais pas quels sont les nombres X et Y. »
  2. Sylvie : « Je savais que vous ne connaissiez pas X et Y. »
  3. Patricia : « Eh bien alors, maintenant, je connais X et Y. »
  4. Sylvie : « Eh bien, moi aussi je les connais maintenant. »

Trouvez X et Y.

Les phrases 1 et 2 qui affirment l'ignorance des deux personnages leur permettent de résoudre le problème. En effet, de nombreux entiers vérifient les conditions données dans le préambule. Mais la phrase 1. permet d'en éliminer certains (notamment ceux qui ne peuvent être écrits que sous la forme d'un produit unique XY). Les phrases 2, 3 et 4 permettent successivement d'éliminer tous ceux qui restent, sauf un couple de solutions.

Résolution du problème

La solution du problème est X = 4, Y = 13.

  1. Patricia connaît le produit P = XY mais ne peut donner la décomposition. On sait donc que P possède plusieurs décompositions possibles. C'est le cas par exemple des produits 12 = 2×6 = 3×4, 18 = 2×9 = 3×6, etc. Il existe 574 tels produits ambigus, le dernier étant 2400 = 40×60 = 48×50. Notons P1 l'ensemble de ces produits : P1 = {12, 18, ..., 2400}.
  2. Sylvie connaît la somme S = X+Y. Comme Sylvie dit « Je savais que vous ne saviez pas ! », cela signifie que, pour toutes les façons de décomposer S en somme de deux entiers, S = 2 + (S-2) = 3 + (S-3), etc. toutes donnent un produit ambigu élément de P1. C'est le cas par exemple de 11 = 2 + 9 de produit 18, 11 = 3 + 8 de produit 24, 11 = 4 + 7 de produit 28, 11 = 5 + 6 de produit 30. De telles sommes décrivent un ensemble S1 qui se réduit à S1 = {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}.
  3. Patricia peut alors conclure. Cela signifie que, parmi les multiples décompositions XY de son produit ambigu, une seule donne une somme X+Y élément de S1. Par exemple, si Patricia dispose du produit 18 = 2×9 = 3×6, elle constate que seul (2,9) a une somme 11 appartenant à l'ensemble S1. Les produits ambigus dont une seule décomposition appartient à S1 décrivent un ensemble P2 qui se réduit à 86 éléments au lieu de 574, P2 = {18, 24, 28, 50, 52, 76, ...,702}.
  4. Sylvie peut aussi conclure. Cela signifie que, parmi les décompositions de sa somme S = X+Y, une seule donne un produit élément de P2. Par exemple 11 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6 donne les produits possibles 18, 24, 28 et 30 et deux de ces produits apparaissent dans l'ensemble P2. Dans ce cas, Sylvie ne pourrait donner X et Y. Les sommes dont une seule décomposition donne un produit élément de P2 décrivent un ensemble S2 qui se trouve être réduit à un seul élément : Il s'agit de 17 = 2 + 15 = 3 + 14 = 4 + 13 = 5 + 12 = 6 + 11 = 7 + 10 = 8 + 9 dont les produits sont 30, 42, 52, 60, 66, 70 et 72. Le seul produit dans P2 est 52.

Donc Sylvie sait (et nous-mêmes) que X + Y = 17 et XY = 52. Donc X = 4 et Y = 13.

Bibliographie

Sources

Liens externes

Notes
  1. (en) The ICMI Felix Klein and Hans Freudenthal AWARDS sur le site de l'ICMI.
  2. L'incroyable problème de Freudenthal.
  3. Voir (en) Marvin Minsky pour les principes.
  4. Une courte biographie sur le site de l'Université d'Utrecht.
  5. (de)[PDF]Thèse en ligne sur le site de l'Université d'Utrecht.
  6. Hommage posthume de Josette Adda.
  7. Texte original ainsi qu'une traduction en anglais et des variantes
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