Fonction harmonique

Soit U un ouvert de ℝⁿ. Une application f : U → ℝ deux fois différentiable est dite harmonique sur U si

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0}$,

${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$,

ou encore (où la lettre grecque delta majuscule représente l'opérateur laplacien) :

${\displaystyle \Delta f=0}$.

Une telle fonction est automatiquement de classe C^∞.

En identifiant ℂ à ℝ², on va voir que les fonctions harmoniques sont très liées aux fonctions holomorphes.

• La partie réelle d'une fonction holomorphe ou anti-holomorphe sur un ouvert de ℂ est harmonique.

La réciproque de cette propriété est fausse, par contre on a :

• Soit Ω un ouvert simplement connexe de ℂ ; toute fonction harmonique sur Ω est la partie réelle d'une fonction holomorphe sur Ω.

• Fonction sous-harmonique
• Harmonique cylindrique
• Harmonique sphérique
• Théorème de Radó
• Inégalité de Harnack
• Fonction harmonique positive

• Portail de l'analyse