Équation de Laplace

En coordonnées cartésiennes dans un espace euclidien de dimension 3, le problème consiste à trouver toutes les fonctions à trois variables réelles ${\displaystyle \psi (x,y,z)}$ qui vérifient l'équation aux dérivées partielles[1] du second ordre :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=0}$.

Pour simplifier l'écriture, on introduit un opérateur différentiel noté ${\displaystyle \Delta }$ et appelé opérateur de Laplace, ou simplement laplacien, tel que l'équation aux dérivées partielles précédente s'écrive de façon compacte :

${\displaystyle \Delta \psi =0}$.

En coordonnées sphériques dans la convention rayon-colatitude-longitude, la solution générale à l'équation de Laplace est

${\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left[A_{lm}r^{l}+{\frac {B_{lm}}{r^{l+1}}}\right]\left[C_{lm}P_{l}^{m}(\cos \theta )+D_{lm}Q_{l}^{m}(\cos \theta )\right]e^{im\phi }}$

où ${\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}$ et ${\displaystyle Q_{l}^{m}(\cos \theta )}$ sont les polynômes associés de Legendre du premier et du second type, respectivement. Comme ceux du second type comportent des divergences, ils ne sont habituellement pas considérés dans les problèmes physiques. Également, il est plus courant de combiner les polynômes associés de Legendre et les phases ${\displaystyle e^{im\phi }}$ sous la forme des harmoniques sphériques ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}$.

En coordonnées cylindriques, il existe deux possibilités dépendamment des conditions frontières de la solution recherchée. Si la solution doit osciller entre deux valeurs de ${\displaystyle z}$, notamment un cylindre de rayon ${\displaystyle a}$ et de hauteur ${\displaystyle h}$ dont les extrémités sont fixées à zéro alors la solution générale aura la forme

${\displaystyle \psi (r,\theta ,z)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }\left[A_{mn}I_{m}\left({\frac {n\pi r}{h}}\right)+B_{mn}K_{m}\left({\frac {n\pi r}{h}}\right)\right]\left[C_{mn}\sin \left({\frac {n\pi z}{h}}\right)+D_{mn}\cos \left({\frac {n\pi z}{h}}\right)\right]e^{im\theta }}$

où ${\displaystyle I_{m}}$ et ${\displaystyle K_{m}}$ sont les fonctions de Bessel modifiées du premier et deuxième types, respectivement.

Si la solution recherchée doit être nulle sur la surface latérale du cylindre, alors la solution générale aura la forme

${\displaystyle \psi (r,\theta ,z)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }\left[A_{mn}J_{m}\left(\alpha _{mn}{\frac {r}{a}}\right)+B_{mn}N_{m}\left(\alpha _{mn}{\frac {r}{a}}\right)\right]\left[C_{mn}\sinh \left(\alpha _{mn}{\frac {z}{a}}\right)+D_{mn}\cosh \left(\alpha _{mn}{\frac {z}{a}}\right)\right]e^{im\theta }}$

où ${\displaystyle J_{m}}$ et ${\displaystyle N_{m}}$ sont les fonctions de Bessel et de Neumann, respectivement, et où ${\displaystyle \alpha _{mn}}$ est le n-ième zéro de la m-ième fonction de Bessel.

En coordonnées cartésiennes dans un espace euclidien de dimension 2, le problème consiste à trouver toutes les fonctions à deux variables réelles ${\displaystyle V(x,y)}$ qui vérifient :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=0}$.

On montre que toute fonction holomorphe donne des solutions de l'équation de Laplace à deux dimensions par sa partie réelle et sa partie imaginaire ; de plus, ces solutions sont orthogonales en tout point.

Premier théorème

Théorème — Toute fonction holomorphe est harmonique.

Démonstration

Pour toute fonction ${\displaystyle F}$ sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$ de classe C² on a, d'après le théorème de Schwarz :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}}}$,

dont on déduit :

${\displaystyle \Delta F=4\partial ({\overline {\partial }}F)}$,

où les deux opérateurs différentiels ${\displaystyle \partial }$ et ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ sont définis par[2] :

${\displaystyle \partial ={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\qquad {\overline {\partial }}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}$.

Si ${\displaystyle F}$ est holomorphe, elle vérifie de plus l'équation de Cauchy-Riemann :

${\displaystyle {\overline {\partial }}F=0}$,

si bien que[2] :

${\displaystyle \Delta F=4\partial ({\overline {\partial }}F)=4\partial 0=0}$.

Remarque : (cas particulier de la décomposition d'un laplacien vectoriel). Si la décomposition d'une fonction complexe ${\displaystyle F}$ en partie réelle et partie imaginaire s'écrit

${\displaystyle F=V+i\Phi }$

alors celle de son laplacien s'écrit :

${\displaystyle \Delta F=\Delta V+i\Delta \Phi }$,

donc F est harmonique si et seulement si V et ${\displaystyle \Phi }$ le sont. Par conséquent, la partie réelle et la partie imaginaire d'une fonction holomorphe sont harmoniques.

Second théorème

Théorème — Les lignes de niveau de la partie réelle et de la partie imaginaire d'une fonction holomorphe sont orthogonales.

Démonstration

Avec les mêmes notations que précédemment, les équations de Cauchy-Riemann s'écrivent aussi :

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\partial V}{\partial y}}=-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}}$

(ce qui s'interprète en termes de transformation conforme). On en déduit immédiatement :

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial \Phi }{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}\cdot {\frac {\partial \Phi }{\partial y}}=0}$.

On reconnait là le produit scalaire des deux vecteurs :

${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {grad} }}(V)\cdot {\overrightarrow {\operatorname {grad} }}(\Phi )=0}$.

On en déduit que les courbes à « ${\displaystyle V(x,y)=}$ constante » et « ${\displaystyle \Phi (x,y)=}$ constante » sont perpendiculaires. Autrement dit : les lignes de champ de ${\displaystyle V}$ sont les équipotentielles de ${\displaystyle \Phi }$ (et inversement).

En remplaçant le membre de droite nul par une fonction donnée f, on obtient l'équation de Poisson : ${\displaystyle \Delta \varphi =f}$.

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