Fonction de Volterra

La fonction est définie à partir de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor et des « copies » de la fonction ${\displaystyle f}$ définie par ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$ pour ${\displaystyle x}$ ≠ 0 et ${\displaystyle f(0)=0}$. On commence par déterminer la plus grande valeur de ${\displaystyle x}$ dans l'intervalle ${\displaystyle [0,1/8]}$ pour laquelle ${\displaystyle f'(x)}$ = 0. Une fois cette valeur déterminée et notée ${\displaystyle x_{0}}$, on étend la fonction vers la droite par la constante ${\displaystyle f(x_{0})}$ jusqu'au point ${\displaystyle 1/8}$ inclus. Ceci étant fait, on crée l'image miroir de cette fonction à partir du point 1/4 et on l'étend vers la gauche jusqu'à 0, et on impose à cette nouvelle fonction d'être nulle à l'extérieur de l'intervalle ${\displaystyle [0,1/4]}$. On translate alors cette fonction sur l'intervalle [3/8, 5/8] de façon que la nouvelle fonction ainsi construite, et notée ${\displaystyle f_{1}(x)}$, soit non nulle seulement sur l'intervalle médian complémentaire de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor. On construit ${\displaystyle f_{2}(x)}$ de la même manière, mais en considérant cette fois ${\displaystyle f'(x)}$ sur l'intervalle plus petit ${\displaystyle [0,1/32]}$, en la tronquant à la plus grande valeur où la dérivée est nulle, en l'étendant, et en construisant son image miroir de la même manière que précédemment, deux copies translatées de la fonction ainsi obtenues étant ajoutée à ${\displaystyle f_{1}}$ pour produire la fonction ${\displaystyle f_{2}}$. La fonction de Volterra est alors obtenue en répétant cette procédure pour tout intervalle « retiré » dans la construction de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor ; en d'autres termes, la fonction V est la limite de la suite de fonctions ${\displaystyle f_{1}}$, ${\displaystyle f_{2}}$, …

La fonction de Volterra est dérivable partout comme ${\displaystyle f(x)}$ définie ci-dessus l'est. On peut montrer que ${\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)}$ pour ${\displaystyle x}$ ≠ 0, ce qui implique que dans tout voisinage de zéro, il y a des points où ${\displaystyle f'(x)}$ prend les valeurs 1 et -1. Ainsi, il y a des points où ${\displaystyle V'(x)}$ prend les valeurs 1 et -1 dans tout voisinage de chaque borne des intervalles retirés lors de la construction de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor noté S. En fait, en tout point de S, V est dérivable, de dérivée nulle, mais ${\displaystyle V'(x)}$ y est discontinue. Cependant, ${\displaystyle V'}$ est continue dans chacun de ces intervalles, donc l'ensemble des points de discontinuités de ${\displaystyle V'}$ est exactement égal à S.

Comme l'ensemble S admet une mesure de Lebesgue strictement positive, cela signifie que ${\displaystyle V'}$ est discontinue sur un ensemble de mesure non nulle, et donc non Riemann-intégrable.

Notons que si l'on avait mené la même construction sur l'ensemble de Cantor C, on aurait obtenu une fonction avec des propriétés similaires, mais la dérivée aurait été discontinue sur C qui est de mesure nulle, et la fonction obtenue aurait alors eu une dérivée Riemann-intégrable.

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