Intégrale de Riemann

En analyse réelle, l'intégrale de Riemann[1] est une façon de définir l'intégrale, sur un segment, d'une fonction réelle bornée et presque partout continue. En termes géométriques, cette intégrale s'interprète comme l'aire du domaine sous la courbe représentative de la fonction, comptée algébriquement.

Interprétation géométrique de l'intégrale de la fonction

f

.

Le procédé général utilisé pour définir l'intégrale de Riemann est l'approximation par des fonctions en escalier, pour lesquelles la définition de l'aire sous la courbe est aisée. Les fonctions (définies sur un segment) pour lesquelles cette définition est possible sont dites intégrables au sens de Riemann. C'est le cas notamment des fonctions continues, continues par morceaux, ou même seulement réglées.

Définition

Intégrale d'une fonction en escalier

Aire sous une courbe approchée par une suite de rectangles.

Pour toute fonction caractéristique $χ [c, d]$ d'un intervalle $[c, d]$ (avec $a \leq c \leq d \leq b)$ , on pose

\int \chi _{[c,d]}(x)\,\mathrm {d} x=d-c.

L'aire sous la courbe de cette fonction est égale à l'aire du rectangle de base $[c, d]$ et de hauteur 1.

On étend par linéarité cette définition aux fonctions en escalier, c'est-à-dire aux combinaisons linéaires d'indicatrices $f k$ d'intervalles (non nécessairement disjoints) :

\int (a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}+\dots +a_{n}f_{n})=a_{1}\int f_{1}+a_{2}\int f_{2}+\dots +a_{n}\int f_{n}

(dans le cas où certains des $a k$ sont négatifs, cela signifie que l'on comptabilise avec un signe moins les aires en dessous de l'axe des abscisses).

On démontre que cette définition est cohérente, c'est-à-dire que toutes les décompositions d'une fonction en escalier en combinaison linéaire d'indicatrices d'intervalles fournissent la même valeur pour son intégrale.

Intégrales inférieure et supérieure

Pour que la condition de croissance

\varphi \leq f\Rightarrow \int \varphi \leq \int f

soit réalisée pour toute fonction $φ$ en escalier, il faut assigner à l'intégrale de $f$ une valeur supérieure ou égale à toutes les « sommes inférieures de $f$ » (les intégrales des fonctions en escalier qui minorent $f$ ), c'est-à-dire supérieure ou égale à leur borne supérieure, parfois appelée l'« intégrale inférieure de $f$ » :

I_{-}(f):=\sup _{\varphi \leq f}\int \varphi \leq \int f.

De même, pour que

\psi \geq f\Rightarrow \int \psi \geq \int f

soit vraie pour toute fonction $ψ$ en escalier, il faut et il suffit que

I_{+}(f):=\inf _{\psi \geq f}\int \psi \geq \int f

et cette borne inférieure (prise sur les $ψ$ en escalier qui majorent $f$ ) des « sommes supérieures de $f$ » est appelée l'« intégrale supérieure de $f$ ».

L'intégrale inférieure de $f$ est toujours majorée par son intégrale supérieure mais elles peuvent être distinctes. Par exemple, elles sont respectivement égales à $-\infty$ et $+\infty$ si $f$ n'est ni minorée, ni majorée, et à 0 et $b - a$ si $f$ est la fonction indicatrice de l'ensemble des rationnels du segment $[a, b]$ avec $a < b$ .

Définition[2] — Une fonction $f$ définie sur un segment est intégrable (au sens de Riemann) ou Riemann-intégrable lorsque son intégrale inférieure et son intégrale supérieure sont égales, et cette valeur commune est alors appelée l'intégrale de Riemann de $f$ .

Définition directe

La définition originale par Riemann de son intégrale[3] utilisait les sommes de Riemann, mais nous présentons ici l'approche ultérieure[4], équivalente, par les sommes de Darboux.

Soit $f$ une fonction bornée sur $[a, b]$ . À toute subdivision $σ = (a = x 0 < x 1 < x 2 < \dots < x n = b)$ on associe son « pas » $δ (σ) = max{x i - x i - 1 | i = 1, \dots , n}$ , qui mesure sa « finesse », ainsi que les 2n réels

${\text{pour }}i=1,\dots ,n,\quad m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x){\text{ et }}M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)$

puis, les sommes de Darboux inférieure et supérieure

$S_{-}(f,\sigma )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1}){\text{ et }}S_{+}(f,\sigma )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1}).$

On peut ainsi (re-)définir les intégrales inférieure et supérieure de $f$ par

$I_{-}(f)=\sup _{\sigma }S_{-}(f,\sigma ){\text{ et }}I_{+}(f)=\inf _{\sigma }S_{+}(f,\sigma )$

et (re-)démontrer que $I - (f) \leq I + (f)$ et l'on dit, à nouveau, que $f$ est Riemann-intégrable lorsque ces deux nombres sont égaux. On démontre[3] que cette condition équivaut à

$\lim _{\delta (\sigma )\to 0}S_{+}(f,\sigma )-S_{-}(f,\sigma )=0.$

Propriétés

Pour être intégrable, une fonction doit avant tout être bornée. Si $f$ est bornée sur $[a, b]$ et intégrable sur tout segment $[c, d]$ tel que $a < c < d < b$ , alors elle est intégrable sur $[a, b]$ [5].

Si $f$ , définie sur $[a, b]$ , est intégrable, on note ∫^b
_a f son intégrale, et l'on a :

$f$ est intégrable sur tout segment inclus dans $[a, b]$ [6] ;
si $a \leq x \leq y \leq z \leq b$ alors $\int y x f + \int z y f = \int z x f$ (relation de Chasles)[7];
l'application $x \mapsto \int x a f$ est lipschitzienne[8].

Théorème 1 — Les fonctions intégrables sur $[a, b]$ forment une ℝ-algèbre de Banach (pour la norme de la convergence uniforme), sur laquelle l'application $I:f\mapsto \int f$ est une forme linéaire positive donc continue.

Autrement dit (sur $[a, b]$ ) :

tout produit, combinaison linéaire, ou limite uniforme de fonctions intégrables est intégrable ;
l'intégrale d'une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des intégrales ;
$I$ est croissante ;
l'intégrale d'une limite uniforme est la limite des intégrales.

Corollaire — Toute fonction réglée sur $[a, b]$ est Riemann-intégrable.

En particulier, toute fonction continue sur $[a, b]$ (ou même seulement bornée et continue sauf en un nombre fini de points) est intégrable, ainsi que toute fonction monotone (ou même seulement monotone par morceaux).

Critère de Lebesgue pour l'intégrabilité de Riemann[9] — Une fonction bornée sur $[a, b]$ est Riemann-intégrable si et seulement si la mesure de Lebesgue de l'ensemble de ses discontinuités est nulle.

Cet ensemble négligeable peut cependant être non dénombrable, comme pour la fonction caractéristique de l'ensemble de Cantor, qui n'est donc pas réglée[10].

Les hypothèses du théorème ci-dessus, sur la limite uniforme d'une suite de fonctions intégrables, sont amoindries dans le théorème suivant, mais pour obtenir la même conclusion, il faut supposer que $f$ est intégrable (alors que dans le théorème de convergence dominée pour l'intégrale de Lebesgue, cette hypothèse supplémentaire n'est pas nécessaire).

Théorème 2[11] — Si $(f k)$ est une suite de fonctions intégrables sur $[a, b]$ , convergeant simplement vers une fonction $f$ et si toutes les $| f k |$ sont majorées par une même constante, alors la suite des intégrales $\textstyle \int f_{k}$ converge. Si de plus $f$ est intégrable, alors son intégrale est la limite de celles des $f k$ .

Comparaison avec d'autres procédés d'intégration

Un autre aspect de l'intégrale de Riemann est qu'elle ne concerne dans un premier temps que les fonctions bornées, sur un intervalle borné. Il faut une deuxième définition si l'une de ces conditions n'est pas vérifiée : voir Intégrale impropre. Dans le cadre de l'intégration au sens de Lebesgue il n'y a qu'une seule définition et par exemple $\textstyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}\,\mathrm {d} x$ est une intégrale de Lebesgue au sens strict tandis que comme intégrale de Riemann elle est une intégrale impropre. De même pour $\textstyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,\mathrm {d} x$ . Cependant les intégrales au sens de Lebesgue sont toujours automatiquement absolument convergentes. Ainsi, l'intégrale $\textstyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x$ n'est ni une intégrale de Riemann au sens propre, ni une intégrale de Lebesgue, mais elle est une intégrale généralisée de Riemann (ou de Lebesgue), et sa valeur est $π/2$ . En désignant par $f(x)$ la somme de ${\frac {\sin(x)}{x}}$ et de la fonction indicatrice des rationnels positifs on voit que $\textstyle \int _{0}^{+\infty }f(x)\,\mathrm {d} x$ donne un exemple d'une intégrale de Lebesgue généralisée qui n'existe pas en tant qu'intégrale de Riemann. Sa valeur est encore $π/2$ . On obtient un procédé d'intégration plus général et plus satisfaisant, notamment vis-à-vis du passage à la limite, en introduisant l'intégrale de Lebesgue ou celle de Kurzweil-Henstock.

Une différence importante entre l'intégrale de Riemann et celle de Lebesgue est que dans cette dernière, on y remplace les fonctions en escalier par les fonctions étagées qui sont des combinaisons linéaires finies de fonctions indicatrices d'ensembles qui ne sont pas nécessairement des intervalles. La longueur de l'intervalle est remplacée par la mesure de l'ensemble.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Riemann integral » (voir la liste des auteurs).

L'intégrale de Riemann a été introduite dans l'article de Bernard Riemann « Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe » (Sur la représentabilité d'une fonction par une série trigonométrique). Riemann a présenté ce travail à l'université de Göttingen en 1854 comme mémoire d'habilitation. Il a été publié en 1868 dans les Actes de la Société royale des sciences de Göttingen, vol. 13, p. 87-132, aperçu sur Google Livres. Pour la définition par Riemann de son intégrale, voir la section 4, « Über der Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit » (Sur le concept d'une intégrale définie et le domaine de sa validité), p. 101-103.
Jean-Pierre Ramis, André Warusfel et al., Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Dunod, 2014, 2^e éd. (lire en ligne), p. 553, définition 3.
Notes d'un cours de DEUG à l'université de Lille reproduisant le texte de Riemann.
G. Darboux, « Mémoire sur les fonctions discontinues », dans Ann. Sci. E.N.S., vol. 4, 1875, p. 57-112.
Ramis, Warusfel et al. 2014, p. 562 (prop. 20).
Ramis, Warusfel et al. 2014, p. 553 (prop. 7).
Ramis, Warusfel et al. 2014, p. 562 (prop. 19).
Ramis, Warusfel et al. 2014, p. 601 (prop. 85).
Henri-Léon Lebesgue, « Leçons sur l'intégration et la recherche de solutions primitives », sur gallica.bnf.fr, 1904, p. 29
Cet exemple « pathologique » se généralise : tout ensemble F_σ (c'est-à-dire toute réunion d'une suite de fermés) de $[a, b]$ est l'ensemble des points de discontinuité d'une certaine application bornée de $[a, b]$ dans ℝ.
Jean-François Burnol, « Le Théorème de la convergence dominée pour les fonctions Riemann-intégrables », novembre 2009.

Articles connexes

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[1] L'intégrale de Riemann a été introduite dans l'article de Bernard Riemann « Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe » (Sur la représentabilité d'une fonction par une série trigonométrique). Riemann a présenté ce travail à l'université de Göttingen en 1854 comme mémoire d'habilitation. Il a été publié en 1868 dans les Actes de la Société royale des sciences de Göttingen, vol. 13, p. 87-132, aperçu sur Google Livres. Pour la définition par Riemann de son intégrale, voir la section 4, « Über der Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit » (Sur le concept d'une intégrale définie et le domaine de sa validité), p. 101-103.

[2] Jean-Pierre Ramis, André Warusfel et al., Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Dunod, 2014, 2^e éd. (lire en ligne), p. 553, définition 3.

[coursdeuglille-3] Notes d'un cours de DEUG à l'université de Lille reproduisant le texte de Riemann.

[4] G. Darboux, « Mémoire sur les fonctions discontinues », dans Ann. Sci. E.N.S., vol. 4, 1875, p. 57-112.

[5] Ramis, Warusfel et al. 2014, p. 562 (prop. 20).

[6] Ramis, Warusfel et al. 2014, p. 553 (prop. 7).

[7] Ramis, Warusfel et al. 2014, p. 562 (prop. 19).

[8] Ramis, Warusfel et al. 2014, p. 601 (prop. 85).

[9] Henri-Léon Lebesgue, « Leçons sur l'intégration et la recherche de solutions primitives », sur gallica.bnf.fr, 1904, p. 29

[10] Cet exemple « pathologique » se généralise : tout ensemble F_σ (c'est-à-dire toute réunion d'une suite de fermés) de $[a, b]$ est l'ensemble des points de discontinuité d'une certaine application bornée de $[a, b]$ dans ℝ.

[11] Jean-François Burnol, « Le Théorème de la convergence dominée pour les fonctions Riemann-intégrables », novembre 2009.