Fonction êta de Dirichlet

La fonction êta de Dirichlet est une fonction utilisée dans la théorie analytique des nombres. Elle peut être définie par

${\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}$

Représentation de la fonction êta de Dirichlet dans le plan complexe.

où ζ est la fonction zêta de Riemann. Néanmoins, elle peut aussi être utilisée pour définir la fonction zêta sauf aux zéros du facteur 1-2^1-s. Elle possède une expression en série de Dirichlet, valide pour tout nombre complexe s avec une partie réelle positive, donnée par

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}}$, d'où son nom parfois donné de fonction zêta alternée.

Tandis que ceci est convergent seulement pour s avec une partie réelle positive, elle est sommable au sens d'Abel pour tout nombre complexe, qui servent à définir la fonction êta comme une fonction entière, et montre que la fonction zêta est méromorphe avec un pôle singulier en s = 1, et peut-être aussi des pôles aux autres zéros du facteur 1-2^1-s.

De manière équivalente, nous pouvons commencer par définir

${\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}~\mathrm {d} x}$

qui est aussi définie dans la région de la partie réelle positive. Ceci présente la fonction êta comme une transformation de Mellin.

Hardy a donné une démonstration simple de l'équation fonctionnelle pour la fonction êta, qui est

${\displaystyle \eta (-s)=2{\frac {1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}}\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1)}$ .

Cette équation fonctionnelle se déduit immédiatement de celle de la fonction zêta, mais elle est plus complexe car la fonction êta n'est pas une série L de Dirichlet (elle n'est pas déduite d'un caractère de Dirichlet).