Crochet de Poisson

En mécanique hamiltonienne, on définit le crochet de Poisson de deux observables $A$ et $B$ , c'est-à-dire de deux fonctions sur l'espace des phases d'un système physique, par :

\{A,B\}\ =\ \sum _{i=1}^{N}\ \left[\ {\dfrac {\partial A}{\partial q_{i}}}\ {\dfrac {\partial B}{\partial p_{i}}}\ -\ {\dfrac {\partial A}{\partial p_{i}}}\ {\dfrac {\partial B}{\partial q_{i}}}\ \right]

où les $2N$ variables, dites canoniques, sont les $N$ coordonnées généralisées $\{q_{i}\}_{i=1,...,N}$ et les $N$ moments conjugués $\{p_{i}\}_{i=1,...,N}$ .

C'est un cas particulier de crochet de Lie.

Propriétés

Le crochet de Poisson est antisymétrique : $\{A,B\}\ =\ -\ \{B,A\}$
Le crochet de Poisson apporte une structure d'algèbre à l'ensemble des observables, qui en mécanique classique sont des fonctions sur l'espace des phases :

{\begin{aligned}\{A,B+C\}&=\{A,B\}+\{A,C\},\\\{\alpha A,\beta B\}&=\alpha \beta \{A,B\}.\end{aligned}}

Le crochet de Poisson satisfait à l'identité de Jacobi :

\{A,\{B,C\}\}\ +\ \{B,\{C,A\}\}\ +\ \{C,\{A,B\}\}\ =\ 0

Les trois propriétés précédentes font du crochet de Poisson un cas particulier de crochet de Lie.

Le crochet de Poisson satisfait de plus à l'identité de Leibniz :

\{A,BC\}\ =\ \{A,B\}C\ +\ \{A,C\}B

Les variables canoniques sont liées par les relations : $\{q_{j},q_{k}\}\ =0\quad \{q_{j},p_{k}\}\ =\ \delta _{k}^{j}\quad \{p_{j},p_{k}\}\ =0$
${\dfrac {\partial }{\partial t}}\{A,B\}\ =\left\{{\dfrac {\partial A}{\partial t}},B\right\}+\left\{A,{\dfrac {\partial B}{\partial t}}\right\}$ car les dérivées partielles commutent.

Équations canoniques

Soit $H(q_{i},p_{i})$ le hamiltonien du système considéré. Les équations canoniques de Hamilton se réécrivent à l'aide du crochet de Poisson sous la forme :

{\dot {q}}_{j}\ =\ \{q_{j},H\}\ =\ {\dfrac {\partial H}{\partial p_{j}}}

et :

{\dot {p}}_{j}\ =\ \{p_{j},H\}\ =\ -\ {\dfrac {\partial H}{\partial q_{j}}}

ou encore, de manière unifiée :

\forall x(t)\in E^{R},{\dot {x}}=\{x,H\}

où $E$ est l'espace des phases associé à la formulation hamiltonienne.

Évolution d'une observable quelconque

Cas général

Soit une observable $A$ , c’est-à-dire une fonction sur l'espace des phases dépendant des moments et des coordonnées généralisées. Il résulte des relations précédentes que :

{\dfrac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}\ =\ {\dfrac {\partial A}{\partial t}}\ +\ \{A,H\}

où ${\tfrac {\partial A}{\partial t}}$ désigne la dérivée partielle de $A$ par rapport à une éventuelle dépendance explicite de $A$ par rapport au temps.

Cas de l'énergie totale

On obtient pour l'énergie totale du système :

{\dfrac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}\ =\ {\dfrac {\partial H}{\partial t}}

puisque $\{H,H\}=0$ par antisymétrie.

Théorème de Poisson

Si $A$ et $B$ sont deux « intégrales premières » du système[1], c'est-à-dire si ${\dfrac {dA}{dt}}={\dfrac {dB}{dt}}=0$ , alors $\ \{A,B\}$ en est une aussi.

Démonstration :

Dans le cas où

A

et

B

ne dépendent pas explicitement du temps : d'après l'identité de Jacobi, on a

\{A,\{B,H\}\}\ +\ \{B,\{H,A\}\}\ +\ \{H,\{A,B\}\}\ =\ 0

.

Or

{\dfrac {dA}{dt}}=\{A,H\}=0

et

{\dfrac {dB}{dt}}=\ \{B,H\}=0

, donc

\ \{H,\{A,B\}\}=0

.

Comme

\ \{A,B\}

ne dépend pas non plus explicitement du temps, on a

{\dfrac {d\{A,B\}}{dt}}=\{\{A,B\},H\}=0

.

D'où la conclusion pour ce cas.

Dans le cas général : on a

{\dfrac {d}{dt}}\{A,B\}\ =\ {\dfrac {\partial }{\partial t}}\{A,B\}\ +\ \{\{A,B\},H\}

En utilisant l'identité de Jacobi et l'égalité utilisant les dérivées partielles, on obtient

{\dfrac {d}{dt}}\{A,B\}\ =\left\{{\dfrac {dA}{dt}},B\right\}+\left\{A,{\dfrac {dB}{dt}}\right\}

La conclusion dans le cas général est alors évidente.

Quantification canonique

L'intérêt du crochet de Poisson est qu'il permet de passer facilement à la quantification dans le formalisme algébrique de Heisenberg de la mécanique quantique. Il suffit en général de faire une substitution :

\{X,Y\}\ \to \ {\dfrac {1}{i\hbar }}\ [{\widehat {X}},{\widehat {Y}}]

où $[.,.]$ désigne le commutateur, pour obtenir les relations de commutation des opérateurs dans le formalisme de Heisenberg à partir des crochets de Poisson des observables classiques. La même stratégie est applicable à la quantification d'un champ classique.

Notes

On dit aussi « constante du mouvement ».

Bibliographie

R. Campbell, La Mécanique analytique, Coll. Que Sais-Je ?, Presses Universitaires de France
Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 1 : Mécanique [détail des éditions]
Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 3 : Mécanique quantique [détail des éditions]
A. Messiah, Mécanique quantique, Dunod

Voir aussi

Articles connexes

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[1] On dit aussi « constante du mouvement ».