Crochet de Lie

Soit V un espace vectoriel sur un corps commutatif K. Un crochet de Lie est une loi de composition interne sur V (c'est-à-dire que le crochet de Lie de deux vecteurs est encore un vecteur : ${\displaystyle \forall x,y\in V,\quad [x,y]\in V}$), vérifiant les propriétés suivantes :

1. bilinéarité :
   • ${\displaystyle \forall x,x',y\in V,\lambda ,\mu \in K,[\lambda x+\mu x',y]=\lambda [x,y]+\mu [x',y]}$,
   • ${\displaystyle \forall x,y,y'\in V,\lambda ,\mu \in K,[x,\lambda y+\mu y']=\lambda [x,y]+\mu [x,y']}$ ;
2. l'application bilinéaire [∙, ∙] est alternée : ${\displaystyle \forall x\in V,\quad [x,x]=0}$ ;
3. relation de Jacobi : ${\displaystyle \forall x,y,z\in V,[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.}$

Remarques

Toute application multilinéaire alternée est antisymétrique (et la réciproque est vraie si la caractéristique du corps est différente de 2). Tout crochet de Lie est donc antisymétrique : ${\displaystyle \forall x,y\in V,[x,y]=-[y,x]}$.

Si l'on combine la bilinéarité avec l'antisymétrie ${\displaystyle [\lambda x+x',y]=-[y,\lambda x+x']}$ on peut ne vérifier la linéarité que sur une seule composante :${\displaystyle [\lambda x+x',y]=\lambda [x,y]+[x',y]}$.

Muni d'un crochet de Lie, un espace vectoriel devient une algèbre de Lie.

Soit V une variété différentielle et X et Y deux champs de vecteurs sur V. On note X . f la dérivée de la fonction f dans la direction du champ X. Le crochet de Lie de X et Y est l'unique champ de vecteur, noté [X,Y], tel que, pour toute fonction f lisse,

${\displaystyle [X,Y]\cdot f=X\cdot (Y\cdot f)-Y\cdot (X\cdot f)}$

On montre en effet qu'un champ de vecteurs Z peut être caractérisé par la façon dont il dérive les applications. On vérifie en outre que l'application [∙, ∙] définit bien un crochet de Lie sur les champs de vecteurs.

Lorsque deux champs de vecteurs ont un crochet nul, on dit qu'ils commutent.

• Alain Bouvier, Michel George et François Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, PUF, 1979
• Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions]

Groupe de Lie

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