Calcul des constructions

Un terme du calcul des constructions est construit à l'aide des règles suivantes :

• ${\displaystyle \mathbb {T} }$ est un terme (également appelé Type)
• ${\displaystyle \mathbb {P} }$ est un terme (également appelé Prop, le type de toutes les propositions)
• Si ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont des termes, le sont également :
  • ${\displaystyle \mathbf {(} AB)}$
  • (${\displaystyle \mathbf {\lambda } x:A.B}$)
  • (${\displaystyle \forall x:A.B}$)

Le calcul des constructions possède cinq types d'objets :

1. les preuves, qui sont des termes dont les types sont des propositions ;
2. les propositions, qui sont aussi appelées petits types ;
3. les prédicats, qui sont des fonctions qui retournent des propositions ;
4. les types larges, qui sont des types de prédicats (par exemple P est un type large) ;
5. T lui-même, qui est le type des types larges.

Dans le calcul des constructions, un jugement est une inférence de typage :

${\displaystyle x_{1}:A_{1},x_{2}:A_{2},\ldots \vdash t:B}$

qui peut être lue comme l'implication

si les variables ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ ont pour types ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$, alors le terme ${\displaystyle t}$ a pour type ${\displaystyle B}$.

Les jugements valides pour le calcul des constructions sont dérivables à partir d'un ensemble de règle d'inférences. Dans la suite, on utilisera ${\displaystyle \Gamma }$ pour signifier une suite d'associations de type ${\displaystyle x_{1}:A_{1},x_{2}:A_{2},\ldots }$, et on écrira K pour désigner soit P soit T.

${\displaystyle {\Gamma \vdash A:P}}$

signifie que le terme ${\displaystyle A}$ est une preuve de la proposition ${\displaystyle P}$ dans le contexte ${\displaystyle \Gamma }$.

On notera ${\displaystyle A:B:C}$ pour signifier « ${\displaystyle A}$ a pour type ${\displaystyle B}$, et ${\displaystyle B}$ a pour type ${\displaystyle C}$ », et ${\displaystyle B(x:=N)}$ le résultat de la substitution de la variable ${\displaystyle x}$ par le terme ${\displaystyle N}$ dans le terme ${\displaystyle B}$.

Une règle d'inférence est écrite sous la forme

${\displaystyle {\Gamma \vdash A:B} \over {\Gamma '\vdash C:D}}$

ce qui signifie

si ${\displaystyle \Gamma \vdash A:B}$ est un jugement valide, alors ${\displaystyle \Gamma '\vdash C:D}$ l'est aussi.

Sorte : ${\displaystyle {{} \over {}\Gamma \vdash \mathbb {P}$ :\mathbb {T} }}

Variable : ${\displaystyle {\Gamma \vdash A:K \over {\Gamma ,x:A\vdash x:K}}}$

Abstraction : ${\displaystyle {\Gamma ,x:A\vdash t:B:K \over {\Gamma \vdash (\lambda x:A.t):(\forall x:A.B):K}}}$

Application : ${\displaystyle {\Gamma \vdash M:(\forall x:A.B)\qquad \qquad \Gamma \vdash N:A \over {\Gamma \vdash MN:B(x:=N)}}}$

Conversion : ${\displaystyle {\Gamma \vdash M:A\qquad \qquad A=_{\beta }B\qquad \qquad \Gamma \vdash B:K \over {\Gamma \vdash M:B}}}$

Le calcul des constructions est très parcimonieux quand on considère uniquement ses opérateurs de base : le seul opérateur logique pour former les propositions est ${\displaystyle \forall }$. Néanmoins, cet opérateur unique est suffisant pour définir tous les autres opérateurs logiques :

${\displaystyle {\begin{matrix}A\Rightarrow B&\equiv &\forall x:A.B&(x\notin B)\\A\wedge B&\equiv &\forall C:\mathbb {P} .(A\Rightarrow B\Rightarrow C)\Rightarrow C&\\A\vee B&\equiv &\forall C:\mathbb {P} .(A\Rightarrow C)\Rightarrow (B\Rightarrow C)\Rightarrow C&\\\neg A&\equiv &\forall C:\mathbb {P} .(A\Rightarrow C)&\\\exists x:A.B&\equiv &\forall C:\mathbb {P} .(\forall x:A.(B\Rightarrow C))\Rightarrow C&\end{matrix}}}$

Les types de données de base utilisés en informatique peuvent être définis dans le calcul des constructions :

Booléens

${\displaystyle \forall A:\mathbb {P} .A\Rightarrow A\Rightarrow A}$

Entiers naturels

${\displaystyle \forall A:\mathbb {P} .(A\Rightarrow A)\Rightarrow (A\Rightarrow A)}$

Type produit ${\displaystyle A\times B}$

${\displaystyle A\wedge B}$

Union disjointe ${\displaystyle A+B}$

${\displaystyle A\vee B}$

• Correspondance de Curry-Howard
• Logique intuitionniste
• Théorie des types
• Lambda-calcul
• Système F

• Thierry Coquand
• Jean-Yves Girard
• Henk Barendregt

• (en) Thierry Coquand et Gerard Huet, « The Calculus of Constructions ». Information and Computation, vol. 76, n^o  2-3 (1988).
• (en) Pour une source accessible librement, voir Coquand et Huet, « The calculus of constructions ». Rapport technique 530, INRIA, Centre de Rocquencourt (1986).
• (en) M. W. Bunder et Jonathan P. Seldin, « Variants of the Basic Calculus of Constructions » (2004).