Calcul de la puissance d'une turbine type éolien ou hydrolienne

Veine de courant.
${\displaystyle V_{f}}$ : vitesse du fluide en amont.
${\displaystyle V}$ : vitesse du fluide au niveau de la turbine.
${\displaystyle V_{w}}$ : vitesse du fluide dans le sillage au loin.

En régime stationnaire, la vitesse du fluide est constante dans le temps : ${\displaystyle ~~{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}=0}$.

Il en vient (voir schéma ci-contre), par conservation du débit, l'équation de continuité ${\displaystyle S_{f}V_{f}=SV=S_{w}V_{w}}$

(L'indice c pour « cinétique » est utilisé.)

${\displaystyle E_{\text{c}}=m~{\frac {v^{2}}{2}}\quad ~~P_{\text{c}}={\frac {\mathrm {d} E_{\text{c}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}{\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {1}{2}}m{\frac {\mathrm {d} v^{2}}{\mathrm {d} t}}\quad ~~{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=0\quad ~~dm=\rho Svdt\quad ~~P_{\text{c}}={\frac {1}{2}}\rho Sv^{3}\quad ~~F_{\text{c}}={\frac {P_{\text{c}}}{v}}={\frac {1}{2}}\rho ~S~v^{2}}$

(L'indice p pour « potentiel » est utilisé.)

${\displaystyle E_{\text{p}}=m~{\frac {p}{\rho }}\quad ~~P_{\text{p}}={\frac {\mathrm {d} E_{\text{p}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}{\frac {p}{\rho }}+m{\frac {1}{\rho }}~{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}\quad ~~{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=0\quad ~~dm=\rho Svdt\quad ~~P_{\text{p}}=Svp\quad ~~F_{\text{p}}={\frac {P_{\text{p}}}{v}}=pS}$

La force appliquée sur le rotor est ${\displaystyle F_{\text{c}}=m{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}\Delta V=\rho SV(V_{f}-V_{w})}$

${\displaystyle P_{\text{c}}=F_{\text{c}}V=\rho SV^{2}(V_{f}-V_{w})}$

${\displaystyle P_{\text{c}}={\frac {\Delta E}{\Delta t}}={\frac {1}{2}}\rho SV(V_{f}^{2}-V_{w}^{2})}$

D'après des deux dernières équations, on en déduit ${\displaystyle V={\frac {V_{f}+V_{w}}{2}}}$

En définissant a tel que ${\displaystyle V=aV_{f}\quad ~~0\leq a\leq 1\quad ~~V_{w}=V_{f}(2a-1)\quad ~~{\text{comme}}~~V_{w}\geq 0\quad a\geq {\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle P_{\text{c}}=4a^{2}(1-a){\frac {1}{2}}\rho SV_{f}^{3}}$, on pose ${\displaystyle C_{\text{c}}=4a^{2}(1-a)}$

Recherche de la puissance cinétique maximale (limite de Betz) :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P_{\text{c}}}{\mathrm {d} t}}=0\quad ~~a(2-3a)=0\quad ~~{\text{comme}}~~a\geq {\frac {1}{2}}\quad ~~a={\frac {2}{3}}\quad ~~C_{\text{c}}={\frac {16}{27}}=C_{\text{Betz}}~\approx 60\;\%}$

La différence de pression est égale à ${\displaystyle (p_{f}-p_{w})={\frac {1}{2}}\rho (V_{w}^{2}-V_{f}^{2})=-{\frac {1}{2}}\rho V_{f}^{2}4a(1-a)\quad ~~avec\quad ~~V_{w}=V_{f}(2a-1)\quad ~~V=aV_{f}}$

Cette différence pression exerce sur la surface de la turbine une force ${\displaystyle |F_{\text{p}}|=|p_{f}-p_{w}|S}$

La puissance de cette force due à la différence de pression est égale à ${\displaystyle |P_{p}|=|p_{f}-p_{w}|SV=a(p_{f}-p_{w})SV_{f}=4a^{2}(1-a){\frac {1}{2}}\rho SV_{f}^{3}\quad ~~,on~~pose\quad ~~C_{p}=4a^{2}(1-a)}$

La pression appliquée sur la surface du rotor se traduit par des contraintes internes au rotor.

Pour une turbine à axe horizontal, la pression exerce sur les pales du rotor une contrainte de flexion quel que soit l'angle de rotation${\displaystyle ~~\beta }$.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \beta }}=0\quad ~~\sigma ~:~{\text{contrainte}}}$

Pour une turbine à axe vertical, la pression exerce sur les pales du rotor une contrainte qui varie en fonction de l'angle de rotation. (Pour une turbine type Darrieus, les bras supportant les pales sont comprimés pendant un demi-tour et pendant l'autre demi-tour, les bras sont étendus.)

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \beta }}\neq 0\quad ~~{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2~\pi }\sigma d\beta ~~\approx ~~0\quad |\sigma _{\text{maxi}}|\approx |\sigma _{\text{mini}}|}$ (approximation grossière)

La conservation de l'énergie impose que la somme totale des énergies reste constant durant le temps.

${\displaystyle {\frac {dE_{\text{T}}}{dt}}={\frac {d(E_{\text{c}}+E_{\text{p}})}{dt}}=P_{\text{c}}+P_{\text{p}}={\frac {1}{2}}\rho Sv^{3}+Svp=0}$

${\displaystyle {\frac {d(E_{\text{c}})}{dt}}=~-~{\frac {d(E_{\text{p}})}{dt}}\quad ~~P_{\text{c}}=-P_{\text{p}}\quad ~~p=-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}}$

La différence de pression p exerce sur la turbine des contraintes. Ces contraintes sont la source d'une énergie. Cette énergie est de l'énergie potentielle. La différence de pression dépend de la vitesse du fluide. (Plus la pression augmente, plus les contraintes augmentent)

Pour une turbine à axe vertical, comme l'énergie potentielle varie en fonction de l'angle de rotation et n'est pas nulle, il est possible de convertir de l'énergie potentielle en énergie cinétique.

La puissance totale de la turbine est égale à ${\displaystyle P_{\text{T}}=(C_{\text{c}}+C_{\text{p}}){\frac {1}{2}}\rho SV_{f}^{3}\quad ~~~C_{\text{p}}\leq C_{\text{c}}\quad ~~~(C_{\text{c}}+C_{\text{p}})\leq 2~(4a^{2}(1-a))}$

En posant ${\displaystyle C_{\text{T}}~=~(C_{\text{c}}+C_{\text{p}})}$, La puissance totale de la turbine est égale à ${\displaystyle P_{\text{T}}=C_{\text{T}}{\frac {1}{2}}\rho SV_{f}^{3}}$

Pour une turbine à axe horizontal, ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \beta }}=0\quad ~~{\frac {\mathrm {d} E_{\text{p}}}{\mathrm {d} \beta }}=0\quad ~~C_{\text{T}}=(C_{\text{c}}+C_{\text{p}})\quad ~avec\quad ~~C_{\text{c}}\leq 4a^{2}(1-a)\quad ~~et\quad ~~C_{\text{p}}=0}$

Pour une turbine à axe vertical sans système de conversion, ${\displaystyle C_{\text{T}}=(C_{\text{c}}+C_{\text{p}})\quad ~avec\quad ~~C_{\text{c}}\leq 4a^{2}(1-a)\quad ~~et\quad ~~C_{\text{p}}=0}$

Pour une turbine à axe vertical avec un système de conversion, ${\displaystyle C_{\text{T}}=(C_{\text{c}}+C_{\text{p}})\quad ~avec\quad ~~C_{\text{c}}\leq 4a^{2}(1-a)\quad ~~et\quad ~~C_{\text{p}}~\leq ~4a^{2}(1-a)}$

D'après la figure comparative établie par E. Hau[3]^{[réf. incomplète]},

• pour une turbine à axe horizontal à allure rapide, le coefficient de puissance est d'environ 80 % du celui d'Albert Betz ;
• pour une turbine à axe vertical de type Darrieus, le coefficient de puissance est d'environ 70 % du celui de Betz.

Comparaison du coefficient de puissance de différentes turbines.

En fonction du type de turbine et en imposant la valeur ${\displaystyle {\frac {2}{3}}\approx 0,7}$ à a.

${\displaystyle C_{\text{c}}=4a^{2}(1-a)\approx 60\;\%\quad ~~C_{\text{p}}=4a^{2}(1-a)\approx 60\;\%}$

Pour une turbine à axe horizontal, ${\displaystyle C_{\text{T-HAWT}}=0,8C_{\text{c}}\approx 48\;\%}$

Pour une turbine à axe vertical sans un système de conversion, ${\displaystyle C_{\text{T-VAWT}}=0,7C_{\text{c}}\approx 42\;\%}$

Pour une turbine à axe vertical avec un système de conversion, ${\displaystyle C_{\text{T-VAWT-conversion}}=0,7C_{\text{c}}+0,6~~0,7C_{\text{p}}\approx 67\;\%}$

En considérant un rendement de 60 % pour la conversion d'énergie potentielle en énergie mécanique, les coefficients de puissance de différents type de turbines peuvent être comparés (voir figure)[4]^,[5]^,[6]^,[7]^,[8]^,[9].

Le gain est égal à ${\displaystyle {\frac {C_{\text{T-VAWT-conversion}}-C_{\text{T-HAWT}}}{C_{\text{T-HAWT}}}}={\frac {0,7C_{\text{c}}+0,6~~0,7C_{\text{p}}-0,8C_{\text{c}}}{0,8C_{\text{c}}}}\approx 40\;\%}$