Opérateur bilaplacien

Dans un système de coordonnées cartésiennes ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$, le bilaplacien s'écrit

${\displaystyle \Delta ^{2}=\nabla ^{4}=\sum _{i}{\frac {\partial ^{4}}{(\partial x_{i})^{4}}}+2\sum _{i<j}{\frac {\partial ^{4}}{(\partial x_{i})^{2}(\partial x_{j})^{2}}}}$.

D'autre part, dans un espace euclidien de dimension ${\displaystyle n}$, la relation suivante est toujours vérifiée :

${\displaystyle \Delta ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)={\frac {3(15-8n+n^{2})}{r^{5}}}}$

avec ${\displaystyle r}$ la distance euclidienne :

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}}=\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}$.

• Opérateur laplacien
• Équation biharmonique
• Fonction harmonique

• (en) Le bilaplacien sur le site MathWorld

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