Approximation de Kubelka-Munk

La recherche initiale de Kubelka et Munk, conduisant à leur publication de 1931, concerne l'opacité des peintures blanches. Connaissant l'albedo d'une couche d'épaisseur infinie, en pratique telle qu'ajouter une couche ne change pas le résultat, on recherche celui d'une couche d'épaisseur plus mince, ainsi que sa capacité à atténuer un motif contrasté présent sur le subjectile, qui est son pouvoir couvrant.

Le modèle suppose que les propriétés des particules de pigment et celles du liant ne varient pas dans la plage de longueurs d'onde utile. Il vaut donc pour les matériaux d'apparence achromatique, blancs ou gris neutre. Pour des matières colorées, cela vaut pour un illuminant monochromatique. On doit effectuer les mesures et les calculs par bande de longueurs d'onde, et déduire de ces résultats la position colorimétrique de la couche de produit.

Il s'applique ainsi à l'étude des glacis en peinture artistique, couches modifiant la couche inférieure tout en la laissant paraître[1]. Dans l'étude d'œuvres anciennes, il évite de faire des hypothèses sur les pigments et les liants utilisés, sur lesquels on ne dispose pas d'informations suffisantes[2].

Lorsque la dimension des particules est largement supérieure à la longueur d'onde du rayonnement, les lois de la diffusion Rayleigh ne s'appliquent plus. Celles de la diffusion de Mie ne s'appliquent qu'avec difficulté aux particules de pigment dans une peinture. La théorie que Kudelka et Munk ont proposée s'éloigne de ces calculs basés sur la physique des rayonnements. Leur modèle se fonde sur des grandeurs photométriques mesurables (PRV).

Le modèle de Kubelka et Munk considère une couche élémentaire du matériau d'épaisseur dx, entre la surface et le support, sur laquelle arrive un flux lumineux diffus arrivant de la surface. À la limite de la couche élémentaire, côté surface, se propage un flux lumineux diffus en direction du support I et un flux lumineux diffus J en direction de la surface.

Le modèle propose deux constantes liées au matériau, K et S, et établit que

${\displaystyle {\frac {K}{S}}={\frac {(1-R_{\infty })^{2}}{2R_{\infty }}}}$

où ${\displaystyle R_{\infty }}$ est la quantité de lumière que réfléchit un film d'une épaisseur suffisante pour qu'un accroissement de cette épaisseur ne change pas le résultat.

On pose

${\displaystyle a={\frac {1}{2}}\left({R_{\infty }+{\frac {1}{R_{\infty }}}}\right)}$ et ${\displaystyle b=a-R_{\infty }}$

puis

${\displaystyle SX=b\coth ^{-1}\left({\frac {1-a\ R_{B}}{b\ R_{B}}}\right)}$

où ${\displaystyle R_{B}}$ est la réflexion mesurable sur un fond noir. Le modèle permet alors de déterminer la réflectance R de la couche

${\displaystyle R={\frac {1-r_{2}(a-b\coth(b\ SX))}{a-r_{2}+b\coth(b\ SX)}}}$

${\displaystyle R_{\infty }}$ et ${\displaystyle R_{B}}$ se mesurent sur un échantillon du matériau.

Le modèle présente une épure de l'équation de transfert radiatif avec des hypothèses simplificatrices (Latour 2007, p. 57) :

Ces simplifications, et les prévisions suffisamment précises obtenues avec les mesures sur les échantillons, ont fait le succès de la méthode Kubelka-Munk (Latour 2007, p. 59).