Anneau intégralement clos

En algèbre commutative, un anneau intégralement clos est un anneau intègre A qui est sa propre clôture intégrale dans son corps des fractions, c'est-à-dire que, pour tout p et tout q non nul appartenant à A, si p/q est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans A alors p/q appartient à A.

Tout anneau intègre à PGCD est intégralement clos, ce qui est le cas de tout anneau factoriel et de tout anneau de Bézout, en particulier (à double titre) de tout anneau principal, donc de tout anneau euclidien comme l'anneau Z.

Démonstration

Dans un anneau intègre à PGCD, le lemme de Gauss est vérifié.

Soit $P(X)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ un polynôme unitaire (c'est-à-dire que $a_{n}=1$ ) à coefficients dans A et p/q un élément du corps des fractions de A où p et q sont premiers entre eux.

Si p/q est une racine de P alors

\sum _{i=0}^{n}a_{i}\left({\dfrac {p}{q}}\right)^{i}=0

puis en multipliant par $q^{n}$

\sum _{i=0}^{n}a_{i}p^{i}q^{n-i}=0

Puisque, pour tout i < n, q divise $a_{i}p^{i}q^{n-i}$ , on en déduit que q divise aussi $a_{n}p^{n}=p^{n}$ . Or q et p sont premiers entre eux ; d'après le lemme de Gauss, q doit alors diviser 1, autrement dit q est inversible dans A, donc p/q est un élément de A.

Un anneau de Dedekind est intégralement clos (par définition).
En fait, un anneau intègre est intégralement clos si et seulement si c'est une intersection d'anneaux de valuation pour son corps des fractions[1].

Référence

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, AC VI § 1 n^o 3.

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[1] N. Bourbaki, Éléments de mathématique, AC VI § 1 n^o 3.