Équation produit-nul

Soit à résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'équation d'inconnue x : x² = 9.

On voit que cette équation est équivalente à x² − 9 = 0 ; qui se factorise en (x + 3)(x − 3) = 0. Ce dernier produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, c'est-à-dire si et seulement si x = 3 ou x = −3.

Donc un réel x vérifie x² = 9 si et seulement si x = 3 ou x = −3. L'équation est résolue.

Le principe d'une équation produit-nul est de passer de la résolution d'une équation « compliquée » à celle de plusieurs équations, plus simples. Si A, B, C et D sont des fonctions d'une variable x, l'équation A.B.C.D = 0 est équivalente au système : A = 0 ou B = 0 ou C = 0 ou D = 0.

Dans un anneau le produit d'un nombre par 0 est forcément nul.

En effet, comme l'élément nul 0 est l'élément neutre de l'addition : 0 = 0 + 0. Ainsi, pour tout élément a de l'anneau (A,+,.), le produit a.0 = a.(0 + 0). Par la distributivité de la loi. sur la loi +, a.(0 + 0) = a.0 + a.0. Donc, a.0 = a.0 + a.0. Comme (A,+) est un groupe, l'élément a.0 admet un inverse et il est possible de simplifier cette égalité par a.0. D'où a.0 = 0.

Dans un anneau, l'élément neutre de la première loi est ainsi l'élément absorbant de la deuxième.

Mais le théorème cité dans l'introduction n'est valable que lorsque l'anneau est un intègre. Par exemple, il n'est pas valable dans ℤ/14ℤ. Dans cet anneau, le produit [2]×[7] est égal à [0] sans qu'aucun des facteurs ne le soit. Également, dans ℤ/6ℤ, le produit de la classe de 2 et de la classe de 3 est nul. Le théorème cité en introduction se rédige ainsi, pour être parfaitement rigoureux :

Le théorème peut être étendu à un espace vectoriel : ${\displaystyle k\cdot u}$ étant le produit d'un scalaire par un vecteur, on a ${\displaystyle k\cdot u=0}$ si et seulement si ${\displaystyle k=0}$ (élément nul du corps de base de l'espace vectoriel) ou ${\displaystyle u=0}$ (vecteur nul de l'espace vectoriel).

• Portail de l’algèbre