Équation de Schwinger-Dyson

L’équation de Schwinger-Dyson, d'après Julian Schwinger et Freeman Dyson, est une équation de la théorie quantique des champs. Étant donné une fonction bornée F sur les configurations du champ, alors pour tout vecteur d'état ${\displaystyle |\psi >}$ (qui est solution de la théorie quantique des champs), il y a  :

${\displaystyle <\psi |{\mathcal {T}}\{{\frac {\delta }{\delta \phi }}F[\phi ]\}|\psi >=-i<\psi |{\mathcal {T}}\{F[\phi ]{\frac {\delta }{\delta \phi }}S[\phi ]\}|\psi >}$

avec S la fonction d'action et ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ l'opération d'ordonnation du temps.

D'une même manière, dans la formulation de l'état de densité, pour tout état (valid) ρ, il y a :

${\displaystyle \rho ({\mathcal {T}}\{{\frac {\delta }{\delta \phi }}F[\phi ]\})=-i\rho ({\mathcal {T}}\{F[\phi ]{\frac {\delta }{\delta \phi }}S[\phi ]\})}$

Ces équations infinies peuvent être utilisées pour résoudre les fonctions de corrélation, sans perturbation.

On peut également réduire l'action S en la séparant : S[φ]=1/2 D^-1_ij φⁱ φ^j+S_int[φ] avec pour premier terme la part quadratique et D^-1 un tenseur covariant symétrique et réversible (antisymétrique pour les fermions) de rang 2 dans la notation de deWitt. Les équations peuvent être ré-écrites ainsi :

${\displaystyle <\psi |{\mathcal {T}}\{F\phi ^{j}\}|\psi >=<\psi |{\mathcal {T}}\{iF_{,i}D^{ij}-FS_{int,i}D^{ij}\}|\psi >}$

Si F est une fonction de φ, alors pour un opérateur K, F[K] est définie comme un opérateur qui remplace K par φ. Par exemple, si

${\displaystyle F[\phi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\phi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\phi (x_{n})}$

et que G est une fonction de J, alors :

${\displaystyle F[-i{\frac {\delta }{\delta J}}]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J]}$.

S'il y une fonction analytique Z (appelée fonction génératrice) de J (appelée champ source) satisfaisant l'équation :

${\displaystyle {\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[0]=i^{n}Z[0]<\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})>}$,

alors l'équation de Schwinger-Dyson pour la génératrice Z est :

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}[-i{\frac {\delta }{\delta J}}]Z[J]+J(x)Z[J]=0}$

En développant cette équation en série de Taylor pour J proche de 0, le jeu entier des équations de Schwinger-Dyson est obtenu.

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