Les suites et séries/Les suites monotones réelles

Pour rappel, les suites monotones regroupent les suites constantes, croissantes et décroissantes.

Dans le cas où chaque terme de la suite est plus grand que le précédent (pour tout rang $n$ , on a : $u_{n+1}>u_{n}$ ), la suite est dite strictement croissante.
Dans le cas contraire, on a $u_{n+1}<u_{n}$ pour tout rang $n$ et la suite est dite strictement décroissante.
Si $u_{n+1}\leq u_{n}$ , la suite est dite décroissante.
Si $u_{n+1}\geq u_{n}$ , la suite est dite croissante.

Certaines suites récurrentes sont soit croissantes, soit décroissantes, selon leur premier terme ou la fonction utilisée. Tel est le cas de la suite définie par la relation $u_{n}=u_{n-1}\times 5$ : la fonction est décroissante avec $u_{0}<0$ et croissante avec $u_{0}>0$ .

Montrer qu'une suite est monotone (croissante, décroissante ou constante)

Démontrer qu'une suite est constante, croissante ou décroissante est généralement assez facile.

Si une suite est croissante, pour tout rang $n$ , $u_{n}<u_{n+1}$ .
Si une suite décroissante, pour tout rang $n$ , $u_{n}>u_{n+1}$ .
Si une suite est constante, pour tout rang $n$ , $u_{n}=u_{n+1}$ , on est face à une suite constante.

Une bonne manière pour déterminer la croissance/constance/décroissance d'une suite est de calculer la différence $u_{n}-u_{n+1}$ :

Elle est toujours nulle pour une suite constante.
Elle est toujours positive si la suite est strictement décroissante.
Elle est toujours négative pour une suite strictement décroissante.
Son signe varie selon le rang si elle n'est pas monotone.

Exemple de démonstration

Pour vous donner un exemple type de démonstration de ce genre, nous allons prendre le cas de la suite harmonique, la suite de l'inverse des entiers naturels. La voici :

S_{h}=1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},...

Pour montrer qu'elle est décroissante, nous allons calculer $u_{n}-u_{n+1}$ , qui vaut alors :

u_{n}-u_{n+1}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}={\frac {1}{n(n+1)}}

On voit bien que la différence $u_{n}-u_{n+1}$ est positive : la suite harmonique est donc décroissante.

La convergence des suites monotones

La convergence des suites monotones (qui sont soit croissantes, soit décroissantes) est assez simple à étudier, car il existe des critères de convergence spécifiques à ce type de suites.

Les suites majorées/minorées

Dans le cas le plus simple, il suffit de déterminer si elles sont croissantes ou décroissantes et de vérifier si elles ont un minorant/majorant. On peut se retrouver avec quatre cas bien précis :

	Croissante	Décroissante
Pas de majorant (mais un minorant)	$\infty$	Limite égale à la borne inférieure
Pas de minorant (mais un majorant)	Limite égale à la borne supérieure	$-\infty$


Démonstration
Les propriétés précédentes ne sont que des corolaires du fait que toute suite convergente est bornée. Commençons par le cas d'une suite croissante. Celle-ci est naturellement minorée par son premier terme, qui est le plus petit terme de la suite. Si la suite n'a pas de majorant, elle n'est pas bornée : elle doit donc diverger. Mais si elle a un majorant, alors elle est bornée. Vu son caractère croissant, on sait qu'il existe un rang au-delà duquel la différence avec la borne supérieure sera négligeable. Par définition de la borne supérieure, on a un rang au-delà duquel : $u_{n}-limite_{sup}<\epsilon$ . Dit autrement, la suite converge. Le raisonnement pour la suite décroissante est l'exact copier-coller du raisonnement précédent, en changeant borne supérieure par borne inférieure et en intervertissant majorant et minorant.

Les suites adjacentes

La propriété précédente a une conséquence assez intéressante dans le cas de suites dites adjacentes. Les suites adjacentes sont deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n}$ qui respectent les propriétés suivantes :

$(a_{n})$ est croissante alors que $(b_{n}$ est décroissante ;
$a_{n}\leq b_{n}$ pour tout rang $n$ ;
$\lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0$ .

Par définition des suites adjacentes, on sait que tout terme de la suite croissante est plus petit que n'importe quel terme de la suite décroissante.

a_{n}\leq b_{p}

, pour tout n et tout p.

Cela a deux conséquences :

La suite $(a_{n})$ est majorée : tout terme de $(b_{n})$ est un majorant de la suite.
La suite $(b_{n})$ est minorée : tout terme de $(a_{n})$ est un minorant de la suite.

Grâce à cela, on peut prouver que deux suites adjacentes ont la même limite.


Démonstration
Prenons deux suites adjacentes : une suite croissante $(a_{n})$ et une suite décroissante $(b_{n})$ . Prouvons que les deux suites convergent : $(a_{n})$ est une suite croissante majorée : elle converge donc vers une limite $\lim _{n\to \infty }(a_{n})=L_{1}$ $(b_{n})$ est une suite décroissante minorée : elle converge donc vers une limite $\lim _{n\to \infty }(b_{n})=L_{2}$ Prouvons ensuite que ces deux limites sont les mêmes. Pour cela, partons de la formule : $\lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0$ . On sait, depuis le chapitre sur les opérations sur les limites, que $\lim _{n\to \infty }(a_{n}-b_{n})=\lim _{n\to \infty }(a_{n})-\lim _{n\to \infty }(b_{n})$ . En faisant le remplacement, on a : $L_{2}-L_{1}=0$ Donc, les deux limites sont égales : les deux suites convergent vers la même limite.

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