Les suites et séries/Les suites arithmético-géométriques

Certaines suites sont assez utilisées dans de nombreux domaines, et il est important de les connaitre par cœur. Celles-ci ont des propriétés assez simples à comprendre, ce qui fait que nous allons les étudier maintenant. Celles-ci sont les fameuses suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques et quelques autres.

Les suites arithmétiques

Les suites arithmétiques sont des suites où les termes augmentent d'un pas régulier :  : on compte de 2 en 2, de 3 en 3, de 1.6 en 1.6, de 39 en 39, etc. Dit autrement, la différence entre un terme et le suivant est une constante et chaque terme s’obtient en additionnant une constante au terme précédent.

Suite arithmétique

Il est possible d'en obtenir deux définitions équivalentes, une paramétrée et une récurrente. Les voici :

u_{n}=u_{0}+n\times k

u_{n+1}=u_{n}+k

La constante $k$ , le pas de la suite, est appelée la raison de la suite

On peut faire remarquer que la suite des entiers naturels (les positifs ou nuls) est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 0.

De même, toute suite constante est une suite arithmétique de raison 0, avec un premier terme quelconque.

Les suites arithmétiques sont monotones

La raison d'une suite arithmétique peut être aussi bien positive que négative, et même nulle ! Et le signe de la raison influence la croissance ou décroissance de la suite.

Si la raison est nulle, chaque terme est égal au précédent : la suite est constante.
Si la raison est positive, les termes de la suite ne cessent d'augmenter avec le rang : la suite est croissante.
Si la raison est négative, les termes diminuent progressivement quand le rang augmente : la suite est décroissante.

Les suites arithmétiques sont donc soit croissantes, soit décroissantes : ce sont donc des suites monotones.

Les suites arithmétiques non-constantes divergent

Il est intéressant d'étudier la convergence/divergence des suites arithmétiques. On peut éliminer un cas assez simple : celui des suites constantes, qui convergent systématiquement. Pour les suites croissantes et décroissantes, c'est autre chose : elles divergent systématiquement. Pour résumer :

Si $r=0$ , la suite est constante et converge vers $u_{0}$ .
Si $r>0$ , la suite diverge vers $+\infty$ .
Si $r<0$ , la suite diverge vers $-\infty$ .

On peut démontrer la divergence des suites arithmétiques non-constantes de plusieurs manières.


Démonstration
La première méthode utilise ce théorème : Les suites croissantes et sans majorant divergent, de même que les suites décroissantes et sans minorants. Or, les suites arithmétiques croissantes (décroissantes) n'ont pas de majorants (minorants) : elles divergent donc.


Démonstration
Une autre méthode consiste à appliquer la définition de la divergence vers $+\infty$ ou $-\infty$ . Une suite diverge vers $+\infty$ si, pour tout nombre $M$ , il existe un rang $n$ tel que : $u_{n}>M$ . Dans le cas des suites arithmétiques, il suffit de prendre le rang tel que : $u_{n}=u_{0}+r\cdot n>M$ Il suffit pour cela de prendre un rang tel que : $n>{\frac {M-u_{0}}{r}}$ Et un tel rang existe toujours. La démonstration pour les suites décroissantes est similaire, si ce n'est que la définition à appliquer est la suivante : Une suite diverge vers $-\infty$ si, pour tout nombre $M$ , il existe un rang $n$ tel que : $u_{n}<M$ . Le raisonnement est alors similaire au précédent, avec seulement quelques changements au niveau des calculs.

Les suites géométriques

Les suites géométriques sont assez similaires aux suites arithmétiques, la seule différence étant que l'addition est remplacée par une multiplication. Chaque terme est un multiple du précédent, ce qui fait que la suite est définie par la fonction de récurrence suivante.

Suite géométrique

Il est possible d'en obtenir une autre définition équivalente, qui est récurrente. Les voici :

u_{n+1}=u_{n}\times k

u_{n}=u_{0}\times k^{n}

La constante $k$ est encore une fois appelée la raison de la suite et elle peut être aussi bien positive que négative.

Les suites géométriques sont soit monotones, soit alternées

Contrairement aux suites arithmétiques, les suites géométriques ne sont pas forcément monotones. Et cette fois-ci, la croissance ou décroissance de la suite ne dépend pas du signe de la raison, mais de sa valeur. Dans les grandes lignes, tout dépend si la raison est négative ou positive, et si sa valeur absolue est comprise entre 0 et 1. Une suite géométrique de raison positive sera une suite monotone, alors qu'une raison négative donnera une suite alternée (le signe des terme s'inverse d'un terme à l'autre).

Si la raison est positive, la suite est obligatoirement monotone.
- Si la raison est supérieure à 1, chaque terme sera plus grand que le précédent et la suite est croissante.
- Si la raison est de 1, chaque terme est égal au précédent : la suite est constante.
- Si la raison est plus petite que 1 mais malgré tout positive, chaque terme sera plus petit que le précédent, mais reste positif : la suite est décroissante.
Si la raison est négative, chaque terme positif est suivi d'un négatif et réciproquement : la suite est alors dites alternée.

La convergence/divergence des suites géométriques

Toutes les suites géométriques ne convergent pas, bien que certaine le font. On peut éliminer directement le cas des suites géométriques qui sont alternées, qui ne peuvent pas converger par définition. Les suites géométriques constantes convergent aussi, par définition. Les autres suites convergent ou divergent, selon la valeur de la raison.

Si $r>1$ , la suite est diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$ selon le signe du premier terme.
Si $r=1$ , la suite est constante et converge vers $u_{0}$ .
Si $-1<r<1$ , la suite converge vers $0$ .
Si $-1\leq r$ , la suite est alternée (les termes consécutifs changent de signe) : elle n'a pas de limite.

On peut démontrer la divergence des suites géométriques non-constantes et non-alternées avec les mêmes raisonnements que pour les suites arithmétiques.


Démonstration
La première méthode utilise deux théorèmes, que nous démontrerons dans le chapitre suivant. Pour les suites géométriques croissantes, on utilise ce théorème : Les suites croissantes et sans majorant divergent, de même que les suites décroissantes et sans minorants. Or, les suites géométriques croissantes n'ont pas de majorants : elles divergent donc. Pour les suites géométriques décroissantes, on utilise ce théorème : Les suites croissantes et avec un majorant convergent, de même que les suites décroissantes et avec un minorant. Les suites géométriques décroissantes avec -1 < r < 1 sont minorées par zéro (leurs termes sont tous positifs) : elles convergent donc. Les autres divergent vers moins l'infini.

Les suites arithmético-géométriques

Les suites arithmético-géométriques sont des généralisations des suites géométriques et arithmétiques : elles sont en quelque sorte les deux à la fois. Chaque terme se calcule en multipliant le précédent, avant d'ajouter une autre constante. La constante par laquelle on multiplie le terme précédent est appelé la raison de la suite, alors que l'autre constante additionnée est appelée la constante additive.

u_{n+1}=a\times u_{n}+b

On peut signaler qu'une suite arithmétique est une suite arithmético-géométrique de raison multiplicative 1, alors qu'une suite géométrique est une suite arithmético-géométrique où la constante additive nulle.

Obtenir l'expression paramétrée de la suite est possible, bien que compliqué. Pour cela, nous allons déterminer la différence entre la suite arithmético-géométrique voulue et une suite géométrique de même raison et de premier terme identique. Nous allons voir ce que cela donne sur un exemple, avant de généraliser.

Rang	Suite géométrique	Suite arithmético-géométrique	Différence entre les deux suites
1	$u_{0}$	$u_{0}$	0
2	$u_{0}\times a$	$u_{0}\times a+b$	$a$
3	$u_{0}\times a^{2}$	$u_{0}\times a^{2}+ab+b$	$ab+b$
4	$u_{0}\times a^{3}$	$u_{0}\times a^{3}+a^{2}b+ab+a$	$a^{2}b+ab+a$
5	$u_{0}\times a^{4}$	$u_{0}\times a^{4}+a^{3}b+a^{2}b+ab+a$	$a^{3}b+a^{2}b+ab+a$
...	...	...	...
n	$u_{0}\times a^{n}$	$u_{0}\times a^{n}+b(a^{n}+a^{n-1}+...+a^{2}+a^{1}+a^{0})$	$b(a^{n}+a^{n-1}+...+a^{2}+a^{1}+a^{0})$
...	...	...	...

On verra dans le chapitre sur les sommes partielles, que $(a^{n}+a^{n-1}+...+a^{2}+a^{1}+a^{0})={\frac {a^{n+1}-1}{a-1}}$ . En faisant le remplacement, on a :

u_{n}=u_{0}\times b^{n}+b\left({\frac {a^{n+1}-1}{a-1}}\right)

On obtient avec pas mal de manipulations algébriques :

u_{n}=a^{n}\left(u_{0}-{\frac {b}{1-a}}\right)+{\frac {b}{1-a}}

Il est possible de démontrer cette relation autrement, bien que la démonstration soit moins intuitive. En voici une démonstration juste en-dessous.


Démonstration
Pour faire cette démonstration, nous allons tenter de nous ramener d'une suite arithmético-géométrique à une simple suite géométrique, que l'on sait traiter. Pour cela, nous allons étudier la suite définie par : $u_{n}=v_{n}+t$ avec $t={\frac {b}{1-a}}$ On a alors : $u_{n+1}=au_{n}+b=a(v_{n}+t)+b$ Vu que $u_{n+1}=v_{n+1}+t$ : $v_{n+1}=a(v_{n}+t)+b-t=av_{n}+at+b-t=av_{n}$ La suite $v_{n}$ est donc une suite géométrique. On a donc : $u_{n}=v_{n}+t=a^{n}v_{0}+t=a^{n}(u_{0}-t)+t$ En remplaçant $t$ par sa valeur $t={\frac {b}{1-a}}$ , on trouve : $u_{n}=a^{n}\left(u_{0}-{\frac {b}{1-a}}\right)+{\frac {b}{1-a}}$

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