1°  ${\displaystyle \sin \left(x+y\right)=1{\text{ et }}\sin \left(x-y\right)={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow }$

${\displaystyle \Leftrightarrow x+y\equiv {\frac {\pi }{2}}{\text{ et }}x-y\equiv {\frac {\pi }{6}}{\text{ ou }}{\frac {5\pi }{6}}{\pmod {2\pi }}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow y\equiv {\frac {\pi }{2}}-x{\text{ et }}2x\equiv {\frac {2\pi }{3}}{\text{ ou }}{\frac {4\pi }{3}}{\pmod {2\pi }}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left(x\equiv {\frac {\pi }{3}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{3}}-\pi {\text{ ou }}{\frac {2\pi }{3}}{\text{ ou }}{\frac {2\pi }{3}}-\pi \right){\text{ et }}y\equiv {\frac {\pi }{2}}-x{\pmod {2\pi }}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left(x,y\right)\equiv \left({\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{6}}\right){\text{ ou }}\left(-{\frac {2\pi }{3}},-{\frac {5\pi }{6}}\right){\text{ ou }}\left({\frac {2\pi }{3}},-{\frac {\pi }{6}}\right){\text{ ou }}\left(-{\frac {\pi }{3}},{\frac {5\pi }{6}}\right){\pmod {2\pi }}.}$

2°  ${\displaystyle \cos \left(x+y\right)={\frac {1}{2}}{\text{ et }}\cos \left(x-y\right)={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x+y\equiv \pm {\frac {\pi }{3}}{\text{ et }}x-y\equiv \pm {\frac {\pi }{6}}{\pmod {2\pi }}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left(y\equiv {\frac {\pi }{3}}-x{\text{ et }}2x\equiv {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{6}}\right){\text{ ou }}\left(y\equiv -{\frac {\pi }{3}}-x{\text{ et }}2x\equiv -{\frac {\pi }{6}}{\text{ ou }}-{\frac {\pi }{2}}\right){\pmod {2\pi }}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left(x,y\right)\equiv \pm \left({\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{12}}\right){\text{ ou }}\pm \left({\frac {\pi }{12}},{\frac {\pi }{4}}\right){\pmod {2\pi }}.}$

1°  Le déterminant de ce système d'équations linéaires est égal à ${\displaystyle \sin a\cos b-\sin b\cos a=\sin \left(a-b\right)}$.

Il est nul lorsque ${\displaystyle a=b+k\pi }$ (avec ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$), et l'ensemble des solutions est alors ${\displaystyle \{\left(1-(-1)^{k}y,y\right)\mid y\in \mathbb {R} \}}$.

Si ${\displaystyle a-b\notin \pi \mathbb {Z} }$, le système est de Cramer et son unique solution est ${\displaystyle \left({\frac {\sin \left(c-b\right)}{\sin \left(a-b\right)}},{\frac {\sin \left(a-c\right)}{\sin \left(a-b\right)}}\right)}$.

2°  Le système équivaut à

${\displaystyle {\begin{cases}\sin a=0{\text{ ou }}x+2y\cos a=3-4\sin ^{2}a\\\sin 3a=0{\text{ ou }}x+2y\cos 3a=3-4\sin ^{2}3a.\end{cases}}}$

• Si ${\displaystyle a\in \pi \mathbb {Z} }$, l'ensemble de ses solutions est donc ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ tout entier.
• Si ${\displaystyle a\equiv \pm {\frac {2\pi }{3}}\mod 2\pi }$, l'ensemble de ses solutions est ${\displaystyle \{\left(3-2y,y\right)\mid y\in \mathbb {R} \}}$.
• Si ${\displaystyle a\equiv \pm {\frac {\pi }{3}}\mod 2\pi }$, l'ensemble de ses solutions est ${\displaystyle \{\left(-y,y\right)\mid y\in \mathbb {R} \}}$.
• Si ${\displaystyle a\notin {\frac {\pi }{3}}\mathbb {Z} }$, son unique solution est ${\displaystyle \left(-2y\cos a+3-4\sin ^{2}a,y\right)}$ avec (cf. exercice 3-2) ${\displaystyle y=-2{\frac {\sin ^{2}a-\sin ^{2}3a}{\cos a-\cos 3a}}={\frac {(3-4\sin ^{2}a)^{2}-1}{2\cos a}}=8\left({\frac {1}{2}}-\sin ^{2}a\right)\cos a}$.

Si ${\displaystyle a\equiv b\equiv c\mod \pi }$, disons ${\displaystyle b=a+\pi }$ et ${\displaystyle c=a+\ell \pi }$, le système équivaut à l'équation ${\displaystyle x+(-1)^{k}y+(-1)^{\ell }z=0}$, dont les solutions sont évidentes.

Sinon, supposons par exemple ${\displaystyle a-b\notin \pi \mathbb {Z} }$. Les solutions sont alors (d'après la question 1 de l'exercice précédent) : ${\displaystyle \left(-z{\frac {\sin \left(c-b\right)}{\sin \left(a-b\right)}},-z{\frac {\sin \left(a-c\right)}{\sin \left(a-b\right)}},z\right)}$, avec ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$.

Ce système équivaut à ${\displaystyle a+2y=x+y={\frac {\pi }{3}}+k\pi }$ (avec ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$) donc ${\displaystyle y={\frac {\pi }{6}}-{\frac {a}{2}}+k{\frac {\pi }{2}}}$ et ${\displaystyle x={\frac {\pi }{6}}+{\frac {a}{2}}+k{\frac {\pi }{2}}}$. (Dans le cas particulier ${\displaystyle a={\frac {\pi }{3}}}$, seules les valeurs paires de ${\displaystyle k}$ sont autorisées, pour que ${\displaystyle \tan y}$ soit bien défini.)

Ce système équivaut à ${\displaystyle \left(1-\tan x\right)\left(1-\tan y\right)=0{\text{ et }}\tan x-\tan y=1}$, c'est-à-dire à ${\displaystyle \left(\tan x=1{\text{ et }}\tan y=0\right){\text{ ou }}\left(\tan y=1{\text{ et }}\tan x=2\right)}$. Ses solutions ${\displaystyle {\pmod {\pi }}}$ sont donc ${\displaystyle \left({\frac {\pi }{4}},0\right)}$ et ${\displaystyle \left(\arctan 2,{\frac {\pi }{4}}\right)}$.

1°  Lorsque ${\displaystyle b=0}$, le système n'a de solutions que si ${\displaystyle a=0}$ et est alors équivalent à ${\displaystyle y\equiv \pm \left(x+\pi \right)\mod 2\pi }$.

Lorsque ${\displaystyle b\neq 0}$, le système est équivalent à ${\displaystyle \cos x+\cos y=a{\text{ et }}\cos x\cos y={\frac {a}{b}}}$. D'après le cours (cf. Condition d'existence de deux cosinus de somme et produit prescrits), il a donc des solutions si et seulement si ${\displaystyle |a|\leq 2{\text{ et }}|a|-1\leq {\frac {a}{b}}\leq {\frac {a^{2}}{4}}}$, et les solutions ${\displaystyle \{x,y\}{\pmod {2\pi }}}$ sont alors ${\displaystyle \left\{\pm \arccos c_{+},\pm \arccos c_{-}\right\}}$, avec ${\displaystyle c_{\pm }={\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4{\frac {a}{b}}}}}{2}}}$.

2°  Les solutions ${\displaystyle \{x,y\}}$ sont entièrement déterminées ${\displaystyle {\pmod {\pi }}}$ par ${\displaystyle s=\tan x}$ et ${\displaystyle t=\tan y}$, ou encore par ${\displaystyle S=s+t}$ et ${\displaystyle P=st}$ (elles existent si et seulement si ${\displaystyle S^{2}\geq 4P}$).

La première équation donne ${\displaystyle S=1}$ et la seconde ${\displaystyle {\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}=m}$, qui se réécrit

${\displaystyle m(1+t^{2})(1+s^{2})=(1-s^{2})(1+t^{2})+(1-t^{2})(1+s^{2})}$,

ou encore

${\displaystyle m(2-2P+P^{2})=2(1-P^{2})}$,

soit

${\displaystyle (m+2)P^{2}-2mP+2(m-1)=0}$.

Si ${\displaystyle m=-2}$, cette équation devient ${\displaystyle P={\frac {3}{2}}}$, donc il n'y a pas de solution (car ${\displaystyle S^{2}<4P}$).

Si ${\displaystyle m\neq -2}$, le discriminant réduit, ${\displaystyle \Delta '=m^{2}-2(m-1)(m+2)=-(m^{2}+2m-4)}$, est positif si et seulement si ${\displaystyle -1-{\sqrt {5}}\leq m\leq -1+{\sqrt {5}}}$, et les racines sont alors ${\displaystyle P_{\pm }={\frac {m\pm {\sqrt {\Delta '}}}{m+2}}}$ ; il reste à déterminer leur position par rapport à ${\displaystyle {\frac {S^{2}}{4}}={\frac {1}{4}}}$.

${\displaystyle (m+2){\frac {1}{4^{2}}}-{\frac {2m}{4}}+2(m-1)={\frac {m+2-8m+32(m-1)}{4^{2}}}={\frac {5(5m-6)}{4^{2}}}}$, et si ${\displaystyle m>{\frac {6}{5}}}$ alors ${\displaystyle {\frac {P_{+}+P_{-}}{2}}={\frac {m}{m+2}}>{\frac {1}{4}}}$. On a donc :

• si ${\displaystyle m>{\frac {6}{5}}}$, pas de solution ;
• si ${\displaystyle -2<m\leq {\frac {6}{5}}}$, seule ${\displaystyle P_{-}}$ est ${\displaystyle \leq {\frac {1}{4}}}$ ;
• si ${\displaystyle -1-{\sqrt {5}}\leq m<-2}$, ${\displaystyle P_{+}\leq P_{-}<{\frac {1}{4}}}$.

1°  Si ${\displaystyle a=b=0}$, les solutions ${\displaystyle \{x,y\}}$ sont ${\displaystyle \{x,x+(2k+1)\pi \}\quad x\in \mathbb {R} ,k\in \mathbb {Z} }$. Supposons maintenant ${\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0}$. Alors, ${\displaystyle y\mod 2\pi }$ sera entièrement déterminé en fonction de ${\displaystyle x}$ par son cosinus (${\displaystyle a-\sin x}$) et son sinus (${\displaystyle b-\cos x}$), sous réserve que ces deux données soient compatibles, c'est-à-dire que ${\displaystyle (a-\sin x)^{2}+(b-\cos x)^{2}=1}$, ce qui équivaut à

${\displaystyle {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos x+{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin x={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{2}}}$.

On détermine les solutions ${\displaystyle x}$ par la méthode habituelle, cf. Cas général (il en existe si et seulement si ${\displaystyle a^{2}+b^{2}\leq 4}$).

2°  Il faut bien sûr supposer ${\displaystyle a\neq 0}$. Le système équivaut alors à ${\displaystyle \sin(x+y)=\cos x\cos y=a}$.

Si ${\displaystyle |a|>1}$, pas de solution. Si ${\displaystyle |a|\leq 1}$, ${\displaystyle x+y\mod 2\pi }$ est déterminé par ${\displaystyle \sin(x+y)=a}$ et ${\displaystyle \cos(x+y)=\varepsilon {\sqrt {1-a^{2}}}}$, avec ${\displaystyle \varepsilon =\pm 1}$, et la seconde équation équivaut alors à ${\displaystyle \cos(x-y)=2a-\varepsilon {\sqrt {1-a^{2}}}}$. Or ${\displaystyle \left(2a-\varepsilon {\sqrt {1-a^{2}}}\right)^{2}\leq 1\Leftrightarrow \varepsilon a=|a|\leq {\frac {4}{5}}}$.

Finalement, il y a des solutions si et seulement si ${\displaystyle |a|\leq {\frac {4}{5}}}$, et elles sont alors données, pour ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ tels que ${\displaystyle \sin \alpha =a}$, ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {a}{|a|}}{\sqrt {1-a^{2}}}}$ et ${\displaystyle \cos \beta =2a-{\frac {a}{|a|}}{\sqrt {1-a^{2}}}}$, par : ${\displaystyle x+y\equiv \alpha \mod 2\pi }$ et ${\displaystyle x-y=\pm \beta \mod 2\pi }$, c'est-à-dire ${\displaystyle y\equiv \alpha -x\mod 2\pi }$ et ${\displaystyle x\equiv {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\mod \pi }$.

3°  Le système équivaut à ${\displaystyle \cos x=u,\cos y=v}$ (ce qui détermine ${\displaystyle x,y}$ à ${\displaystyle \pm }$ près et ${\displaystyle \mod 2\pi }$), avec ${\displaystyle u+v=m{\text{ et }}uv=P:={\frac {m^{2}}{2}}-{\frac {3}{4}}}$.

Cf. Condition d'existence de deux cosinus de somme et produit prescrits : il existe des solutions si et seulement si ${\displaystyle |m|-{\frac {1}{4}}\leq {\frac {m^{2}}{2}}}$ et ${\displaystyle |m|\leq {\sqrt {3}}}$.

1°  Lorsque ${\displaystyle a=0}$ ou ${\displaystyle b=0}$, il n'y a de solutions que si ${\displaystyle a=b=0}$, et le système équivaut alors à ${\displaystyle y\equiv -x\mod \pi }$.

Lorsque ${\displaystyle a,b\neq 0}$, le système équivaut à ${\displaystyle \tan x+\tan y=a{\text{ et }}\tan x\tan y=1-{\frac {a}{b}}}$ donc à : ${\displaystyle \tan x,\tan y}$ sont les deux racines réelles du polynôme ${\displaystyle t^{2}-at+1-{\frac {a}{b}}}$ (qui existent si et seulement si ${\displaystyle a^{2}-4\left(1-{\frac {a}{b}}\right)\geq 0}$).

2°  Les solutions sont déterminées ${\displaystyle \mod 2\pi }$ par leur cosinus et le signe de leur sinus.

Le signe de ${\displaystyle a}$ détermine celui de ${\displaystyle \sin x\sin y}$ et outre cette contrainte, le reste du système équivaut, en notant ${\displaystyle u=\cos x}$ et ${\displaystyle v=\cos y}$ et ${\displaystyle P=uv}$, à ${\displaystyle \left(1-u^{2}\right)\left(1-v^{2}\right)=a^{2}{\text{ et }}u+v=b}$, ou encore : ${\displaystyle P^{2}+2P+1-b^{2}-a^{2}=0{\text{ et }}u+v=b}$, c'est-à-dire ${\displaystyle P=-1\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{\text{ et }}u+v=b}$. Les 2 solutions ${\displaystyle u,v}$ de ${\displaystyle z^{2}-bz+P=0}$ appartiennent à ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$ si et seulement si ${\displaystyle b^{2}\geq 4P}$, ${\displaystyle |b|\leq 2}$ et ${\displaystyle |b|\leq P+1}$. Il faut donc que ${\displaystyle P=-1+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ (et non pas ${\displaystyle -1-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$), et la condition d'existence de solutions ${\displaystyle \left(u,v\right)\in \left[-1,1\right]^{2}}$ est alors : ${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq b^{2}+4\leq 8}$.