De ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{4}}=\sin {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$, ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ et ${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {1}{2}}}$, on déduit :

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}=\sin {\frac {5\pi }{12}}={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}}$ et ${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12}}=\cos {\frac {5\pi }{12}}={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}}$ (voir aussi l'exercice 12-5).

1°  a)  ${\displaystyle \cos(a+b+c)=\left(\cos a\cos b-\sin a\sin b\right)\cos c-\left(\cos a\sin b+\sin a\cos b\right)\sin c}$.

b)  ${\displaystyle \cos 3a=\cos ^{3}a-3\sin ^{2}a\cos a=\cos ^{3}a-3\left(1-\cos ^{2}a\right)\cos a=4\cos ^{3}a-3\cos a}$.

2°  a)  ${\displaystyle \sin(a+b+c)=\left(\cos a\cos b-\sin a\sin b\right)\sin c+\left(\cos a\sin b+\sin a\cos b\right)\cos c}$.

b)  ${\displaystyle \sin 3a=3\cos ^{2}a\sin a-\sin ^{3}a=3\left(1-\sin ^{2}a\right)\sin a-\sin ^{3}a=3\sin a-4\sin ^{3}a}$.

3°  a)  ${\displaystyle \tan(a+b+c)={\frac {\tan a+\tan b+\left(1-\tan a\tan b\right)\tan c}{1-\tan a\tan b-\left(\tan a+\tan b\right)\tan c}}}$.

b)  ${\displaystyle \tan 3a={\frac {3\tan a-\tan ^{3}a}{1-3\tan ^{2}a}}}$.

${\displaystyle \left(\cos \alpha +\sin \alpha \right)^{2}=\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha +2\cos \alpha \sin \alpha =1+\sin 2\alpha }$.

${\displaystyle \tan 2a={\frac {2\tan a}{1-\tan ^{2}a}}}$ donc ${\displaystyle \tan 4a={\frac {2{\frac {2\tan a}{1-\tan ^{2}a}}}{1-\left({\frac {2\tan a}{1-\tan ^{2}a}}\right)^{2}}}={\frac {4\tan a\left(1-\tan ^{2}a\right)}{\left(1-\tan ^{2}a\right)^{2}-4\tan ^{2}a}}={\frac {4\tan a-4\tan ^{3}a}{1-6\tan ^{2}a+\tan ^{4}a}}}$

1° et 2°  D'après les formules de transformation d'un produit en somme :

• ${\displaystyle \cos a\sin(b-c)+\cos b\sin(c-a)+\cos c\sin(a-b)={\frac {\sin(b-c+a)+\sin(b-c-a)+\sin(c-a+b)+\sin(c-a-b)+\sin(a-b+c)+\sin(a-b-c)}{2}}=0}$ ;
• ${\displaystyle \sin a\sin(b-c)+\sin b\sin(c-a)+\sin c\sin(a-b)={\frac {\cos(a-b+c)-\cos(a+b-c)+\cos(b-c+a)-\cos(b+c-a)+\cos(c-a+b)-\cos(c+a-b)}{2}}=0}$.

3°  ${\displaystyle \cos(a+b)\cos(a-b)}$ est égal à ${\displaystyle {\frac {\cos \left((a+b)+(a-b)\right)+\cos \left((a+b)-(a-b)\right)}{2}}={\frac {\cos 2a+\cos 2b}{2}}}$ (d'après les formules de transformation d'un produit en somme) donc aussi à ${\displaystyle \cos ^{2}a-\sin ^{2}b}$ (d'après les formules de duplication). Par conséquent, ${\displaystyle \cos(a+b)\cos(a-b)=\cos(b+a)\cos(b-a)=\cos ^{2}b-\sin ^{2}a}$.

4°  ${\displaystyle \sin(a+b)\sin(a-b)}$ est égal à ${\displaystyle {\frac {\cos 2b-\cos 2a}{2}}}$ (cf. exercice 3-7 ci-dessous) donc aussi (d'après les formules de duplication) à ${\displaystyle \sin ^{2}a-\sin ^{2}b}$ et à ${\displaystyle \cos ^{2}b-\cos ^{2}a}$.

1°  ${\displaystyle \cot a-\tan a={\frac {\cos a}{\sin a}}-{\frac {\sin a}{\cos a}}={\frac {\cos ^{2}a-\sin ^{2}a}{\sin a\cos a}}={\frac {\cos 2a}{{\frac {1}{2}}\sin 2a}}=2\cot 2a}$ ;

2°  ${\displaystyle {\frac {1}{\sin 2a}}+\cot 2a={\frac {1+\cos 2a}{\sin 2a}}={\frac {2\cos ^{2}a}{2\sin a\cos a}}=\cot a}$.

D'après les formules de transformation d'un produit en somme :

• ${\displaystyle 2\cos(a+b)\sin(a-b)=\sin \left((a-b)+(a+b)\right)+\sin \left((a-b)-(a+b)\right)=\sin 2a-\sin 2b}$ ;
• ${\displaystyle 2\sin(a+b)\sin(a-b)=\cos \left((a+b)-(a-b)\right)-\cos \left((a+b)+(a-b)\right)=\cos 2b-\cos 2a}$.

1°  D'après l'exercice précédent, ${\displaystyle 2\sin \left({\frac {\pi }{3}}+a\right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}-a\right)=\cos 2a-\cos {\frac {2\pi }{3}}=\cos 2a+{\frac {1}{2}}}$.

Donc ${\displaystyle 4\sin \left({\frac {\pi }{3}}+a\right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}-a\right)\sin a=2\cos 2a\sin a+\sin a=\sin 3a}$ (d'après les formules de transformation d'un produit en somme).

2°  D'après les formules de transformation d'un produit en somme (cf. exercice précédent), ${\displaystyle 2\cos \left({\frac {\pi }{3}}+a\right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}-a\right)=\cos {\frac {2\pi }{3}}+\cos 2a=\cos 2a-{\frac {1}{2}}}$.

Donc ${\displaystyle 4\cos \left({\frac {\pi }{3}}+a\right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}-a\right)\cos a=2\cos 2a\cos a-\cos a=\cos 3a}$ (à nouveau par transformation d'un produit en somme).

3°  Résulte immédiatement de 1° et 2°.

1°  ${\displaystyle \cos ^{4}a-\sin ^{4}a=\left(\cos ^{2}a+\sin ^{2}a\right)\left(\cos ^{2}a-\sin ^{2}a\right)=1\times \cos 2a}$.

2°  ${\displaystyle \cos a\cos 3a={\frac {\cos 4a+\cos 2a}{2}}={\frac {2\cos ^{2}2a-1+1-2\sin ^{2}a}{2}}=\cos ^{2}2a-\sin ^{2}a}$.

3°  ${\displaystyle (\sin 3a\sin a)\sin ^{2}a+(\cos 3a\cos a)\cos ^{2}a={\frac {\left(\cos 2a-\cos 4a\right)\left(1-\cos 2a\right)+\left(\cos 2a+\cos 4a\right)\left(1+\cos 2a\right)}{4}}={\frac {\cos 2a\left(1+\cos 4a\right)}{2}}=\cos ^{3}2a}$.

4°  ${\displaystyle 4(\cos 3a\sin a)\sin ^{2}a+4(\sin 3a\cos a)\cos ^{2}a=\left(\sin 4a-\sin 2a\right)\left(1-\cos 2a\right)+\left(\sin 4a+\sin 2a\right)\left(1+\cos 2a\right)=2\sin 4a+2\sin 2a\cos 2a=3\sin 4a}$.