Trace et transposée de matrice/Exercices/Calcul de l'équation d'une droite de régression

Des mesures du nombre N_i de bactéries par millilitre sont effectuées à divers instants t_i.

On obtient le tableau suivant, où ln N_i désigne le logarithme népérien de N_i.

Valeur de i	1	2	3	4	5	6	7
t_i en heures	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
y_i = ln N_i	9,15	9,30	9,38	9,50	9,65	9,72	9,85

En représentant les points de coordonnées (t_i,y_i) dans un repère, on constate que les points sont à peu prés alignés.

Calculer y en fonction de t par un ajustement affine (sans utiliser une calculatrice ayant des fonctions statistiques).
En déduire N en fonction de t.
Quel sera probablement le nombre de bactéries au bout de 4 heures.

Solution

1) Une façon pratique de procéder est de construire le tableau suivant :

i	t_i	y_i	t_i²	y_i²	t_iy_i
1	0	9,15	0	83,7225	0
2	0,5	9,30	0,25	86,49	4,65
3	1	9,38	1	87,9844	9,38
4	1,5	9,50	2,25	90,25	14,25
5	2	9,65	4	93,1225	19,3
6	2,5	9,72	6,25	94,4784	24,3
7	3	9,85	9	97,0225	29,55
Total	10,5	66,55	22,75	633,0703	101,43

Grâce au tableau ci-dessus, nous pouvons calculer facilement ce qui nous est nécessaire pour obtenir a et b.

Nous avons :

${\bar {t}}={\frac {\sum t_{i}}{n}}={\frac {10,5}{7}}=1,5$

${\bar {y}}={\frac {\sum y_{i}}{n}}={\frac {66,55}{7}}=9,507$

$cov(t,y)={\frac {\sum t_{i}y_{i}}{n}}-{\bar {t}}{\bar {y}}={\frac {101,43}{7}}-1,5\times 9,507=0,2293$

$var(t)={\frac {\sum t_{i}^{2}}{n}}-({\bar {t}})^{2}={\frac {22,75}{7}}-1,5^{2}=1$

Et par conséquent, nous avons :

$a={\frac {cov(t,y)}{var(t)}}={\frac {0,2293}{1}}\simeq 0,23$

$b={\bar {y}}-a{\bar {t}}=9,507-0,2293\times 1,5\simeq 9,16$

L'équation de la droite de régression est donc :

$y=0,23x+9,16$

2) Comme y = ln N, nous obtenons en remplaçant :

$\ln(N)=0,23x+9,16$

Et donc :

$N=e^{0,23x+9,16}=9538.e^{0,23x}$

3) Au bout de 4 heures, par millilitre, il y aura :

$N=9538.e^{0,23\times 4}\simeq 23934$

Soit environ 24000 bactéries par millilitre.

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