Topologie générale/Exercices/Dénombrabilité

Exercice 1

Soient $X$ un espace séparable et $E$ un ensemble d'ouverts de $X$ , non vides et deux à deux disjoints. Montrer que $E$ est au plus dénombrable.
En déduire que tout ouvert de $\mathbb {R}$ est réunion au plus dénombrable d'intervalles ouverts deux à deux disjoints.

Solution

Soit $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ une suite d'image dense dans $X$ . L'application $E\to \mathbb {N} ,\;O\mapsto \min\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}\in O\}$ est alors injective.
Soit $U$ un ouvert de $\mathbb {R}$ . Puisque $\mathbb {R}$ est localement connexe, les composantes connexes de $U$ sont des ouverts de $\mathbb {R}$ . $U$ est donc réunion d'intervalles ouverts non vides deux à deux disjoints. Puisque $\mathbb {R}$ est séparable, l'ensemble de ces intervalles est au plus dénombrable d'après la question 1.

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