Les mots

Alphabet : Ensemble ${\displaystyle \Sigma }$ fini non vide dont les éléments sont appelés lettres ou caractères

Mot : l’ensemble des mots sur un alphabet ${\displaystyle \Sigma }$ est défini récursivement de la manière suivante :

• le mot vide ${\displaystyle \varepsilon }$ est un mot sur ${\displaystyle \Sigma }$
• Si ${\displaystyle a\in \Sigma }$, et ${\displaystyle w}$ un mot sur ${\displaystyle \Sigma }$, alors ${\displaystyle a\cdot w}$ est un mot sur ${\displaystyle \Sigma }$

Il est usuel de ne pas marquer le point ${\displaystyle \cdot }$, et donc d'écrire ${\displaystyle aw}$ au lieu de ${\displaystyle a\cdot w}$

Longueur d'un mot : la longueur d'un mot ${\displaystyle w}$ est notée ${\displaystyle |w|}$ et est définie récursivement comme suit :

• ${\displaystyle |\varepsilon |=0|}$
• si ${\displaystyle w=aw'}$ avec ${\displaystyle a\in \Sigma ,w'\in \Sigma ^{*}}$, alors ${\displaystyle |w|=1+|w'|}$

Concaténation de mots : on étend la concaténation de deux caractères à des mots, définie par :

• ${\displaystyle \varepsilon \cdot w=w}$
• si ${\displaystyle w'=au}$ avec ${\displaystyle a\in \Sigma }$ et ${\displaystyle u}$ un mot sur ${\displaystyle \Sigma }$, alors ${\displaystyle \forall w\in \Sigma ^{*},w'w==a(uw)}$

• Préfixe : ${\displaystyle u\in \Sigma ^{*}}$ est un préfixe de ${\displaystyle v\in \Sigma ^{*}}$ s'il existe ${\displaystyle w\in \Sigma ^{*}}$ tel que ${\displaystyle v=uw}$ ;
• Suffixe : ${\displaystyle u\in \Sigma ^{*}}$ est un suffixe de ${\displaystyle v\in \Sigma ^{*}}$ s'il existe ${\displaystyle w\in \Sigma ^{*}}$ tel que ${\displaystyle v=wu}$ ;
• Facteur : ${\displaystyle u\in \Sigma ^{*}}$ est un facteur de ${\displaystyle v\in \Sigma ^{*}}$ s'il existe ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in \Sigma ^{*}}$ tels que ${\displaystyle v=w_{1}uw_{2}}$ .