L'objet de ce chapitre est de prouver que si V est un espace vectoriel de dimension finie n au moins égale à 2 sur un corps commutatif K, le groupe linéaire spécial projectif PSL(V) (qu'on définira) est simple, sauf dans le cas où n est égal à 2 et le cardinal de K à 2 ou à 3.

On trouvera dans Marc Hindry, Université Paris 7, Cours d’algèbre au magistère de Cachan, en ligne, une démonstration un peu différente de celle qui suit.

Conventions et rappels sur les matrices

On définira une matrice à r lignes et à s colonnes (r et s étant des nombres naturels) comme une famille (« double ») indexée par le produit cartésien ${\displaystyle \{1,\ldots ,r\}\times \{1,\ldots ,s\}}$. Si ${\displaystyle (a_{i,j})_{(i,j)\in \{1,\ldots ,r\}\times \{1,\ldots ,s\}}}$ est une telle matrice, les ${\displaystyle a_{i,j}}$ sont appelés les coefficients de la matrice; plus précisément, on dit que ${\displaystyle a_{i,j}}$ est le coefficient de la i-ième ligne et de la j-ième colonne.

Dans ce qui précède, les mots « ligne » et « colonne » ont un sens purement conventionnel. L'usage de ces mots s'explique par le fait qu'on représente couramment une matrice à r « lignes » et s « colonnes » par un tableau rectangulaire à r lignes et s colonnes, cette fois au sens courant des mots « ligne » et « colonne ». Les lignes de ce tableau étant numérotées de haut en bas et les colonnes de gauche à droite, on met le coefficient ${\displaystyle a_{i,j}}$ de la matrice à l'intersection de la i-ième ligne et de la j-ièmes colonne.

Au lieu de « matrice à r lignes et s colonnes », nous dirons parfois « matrice ${\displaystyle r\times s}$ ».

Si M et N sont deux matrices ${\displaystyle r\times s}$ dont les coefficients appartiennent à un même anneau A, on définit la somme M + N des matrices M et N (relativement à l'anneau A) de la façon suivante : si ${\displaystyle M=(a_{i,j})_{(i,j)\in \{1,\ldots ,r\}\times \{1,\ldots ,s\}}}$, si ${\displaystyle N=(b_{i,j})_{(i,j)\in \{1,\ldots ,r\}\times \{1,\ldots ,s\}}}$, alors

${\displaystyle M+N=(a_{i,j}+b_{i,j})_{(i,j)\in \{1,\ldots ,r\}\times \{1,\ldots ,s\}},}$

où la somme ${\displaystyle a_{i,j}+b_{i,j}}$ est prise dans l'anneau A.

Si M est une matrice à r lignes et s colonnes à coefficients dans l'anneau A, si N est une matrice à s lignes et t colonnes à coefficients dans le même anneau A (N a donc autant de lignes que M de colonnes), nous définirons le produit MN des matrices M et N (relativement à l'anneau A) de la façon suivante : si ${\displaystyle M=(a_{i,j})_{(i,j)\in \{1,\ldots ,r\}\times \{1,\ldots ,s\}}}$, si si ${\displaystyle N=(b_{j,k})_{(j,k)\in \{1,\ldots ,s\}\times \{1,\ldots ,t\}}}$, alors

${\displaystyle MN=(c_{i,k})_{(i,k)\in \{1,\ldots ,r\}\times \{1,\ldots ,t\}}}$,

où ${\displaystyle c_{i,k}=\sum _{j=1}^{s}a_{i,j}b_{j,k},}$ le calcul de ${\displaystyle c_{i,k}}$ se faisant dans l'anneau A.

Les seules matrices que nous rencontrerons dans ce chapitre seront des matrices à coefficients dans des corps commutatifs. Cela simplifie un peu ce qui suit en nous dispensant de distinguer entre espaces vectoriels à gauche et espaces vectoriels à droite.

Soit F un corps commutatif, soient V, W des F-espaces vectoriels de dimensions finies s et r respectivement, soit ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{s})}$ une base numérotée de V (on entendra par là une famille basique de V indexée par l'ensemble {1, ... , s}), soit ${\displaystyle (w_{1},\ldots ,w_{r})}$ une base numérotée de W; soit f un F-homomorphisme de V dans W; nous définirons la matrice de f dans les bases ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{s})}$ et ${\displaystyle (w_{1},\ldots ,w_{r})}$ comme la matrice ${\displaystyle M=(a_{i,j})_{(i,j)\in \{1,\ldots ,r\}\times \{1,\ldots ,s\}}}$, où ${\displaystyle a_{i,j}}$ désigne la i-ième composante de ${\displaystyle f(v_{j})}$ dans la base ${\displaystyle (w_{1},\ldots ,w_{s})}$.

Si f et g sont deux F-homomorphismes de V dans W, si M (resp. N) désigne la matrice de f (resp. g) dans les bases ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{r})}$ et ${\displaystyle (w_{1},\ldots ,w_{s})}$, alors la matrice de f + g dans ces bases est M + N.

Soit F un corps commutatif, soient ${\displaystyle V_{1}}$, ${\displaystyle V_{2}}$, ${\displaystyle V_{3}}$ des F-espaces vectoriels de dimensions finies, soient respectivement ${\displaystyle B_{1}}$, ${\displaystyle B_{2}}$, ${\displaystyle B_{3}}$ des bases numérotées de ${\displaystyle V_{1}}$, ${\displaystyle V_{2}}$ et ${\displaystyle V_{3}}$. Si f est un F-homomorphisme de ${\displaystyle V_{1}}$ dans ${\displaystyle V_{2}}$, si g est un F-homomorphisme de ${\displaystyle V_{2}}$ dans ${\displaystyle V_{3}}$, si M désigne la matrice de f dans les bases ${\displaystyle B_{1}}$ et ${\displaystyle B_{2}}$, si N désigne la matrice de g dans les bases ${\displaystyle B_{2}}$ et ${\displaystyle B_{3}}$, alors la matrice de ${\displaystyle g\circ f}$ dans les bases ${\displaystyle B_{1}}$ et ${\displaystyle B_{3}}$ est NM.

Les auteurs qui, contrairement au choix fait dans le présent cours, préfèrent les opérations de groupes à droite aux opérations à gauche, composent habituellement les applications de gauche à droite alors que nous les composons de droite à gauche. Autrement dit, ces auteurs écrivent ${\displaystyle fg}$ là où nous écrivons ${\displaystyle g\circ f}$. Ces auteurs définissent en général la matrice d'un F-homomorphisme de V dans W dans une base ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{s})}$ de V et une base ${\displaystyle (w_{1},\ldots ,w_{r})}$ de W comme la matrice ${\displaystyle M=(a_{i,j})_{(i,j)\in \{1,\ldots ,s\}\times \{1,\ldots ,r\}}}$, où ${\displaystyle a_{i,j}}$ désigne la j-ième composante de ${\displaystyle f(v_{i})}$ dans la base ${\displaystyle (w_{1},\ldots ,w_{r})}$. Cette matrice est la transposée de celle que nous avons définie comme la matrice de f dans les bases ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{s})}$ de V et ${\displaystyle (w_{1},\ldots ,w_{r})}$ de W. Avec la définition donnée par les auteurs en question, on peut énoncer :

« Soit F un corps commutatif, soient V, W, U des F-espaces vectoriels de dimensions finies, soit ${\displaystyle B_{V}}$ une base numérotée de V, soit ${\displaystyle B_{W}}$ une base numérotée de W, soit ${\displaystyle B_{U}}$ une base numérotée de U. Si f est un F-homomorphisme de V dans W, si g est un F-homomorphisme de W dans U, si M désigne la matrice de f dans les bases ${\displaystyle B_{V}}$ et ${\displaystyle B_{W}}$, si N désigne la matrice de g dans les bases ${\displaystyle B_{W}}$ et ${\displaystyle B_{U}}$, alors la matrice de ${\displaystyle fg}$ dans les bases ${\displaystyle B_{V}}$ et ${\displaystyle B_{U}}$ est MN. »

C'est en raison de l'existence de ces conventions différentes qu'on a fait la présente mise au point.

Généralités sur les groupes linéaires

V étant un espace vectoriel sur un corps commutatif K, nous appellerons automorphisme de V toute permutation K-linéaire de V.

Définition

Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K. Le groupe des automorphismes de V (la loi de groupe étant la composition ${\displaystyle (f,g)\mapsto f\circ g}$ des applications) est appelé le groupe linéaire général de V et noté GL(V).

Définition

Soient n un entier naturel et K un corps commutatif. Le groupe (multiplicatif) des matrices ${\displaystyle \ n\times n}$ non singulières à coefficients dans K est noté GL(n. K).

Énoncé 1

Si V est un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps commutatif K et B une base de V, l’application qui fait correspondre à un automorphisme de V sa matrice dans la base B est un isomorphisme de GL(V) sur GL(n, K).

Démonstration. Notions classiques d'algèbre linéaire.

Définition

Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K. Le sous-groupe de GL(V) formé par les automorphismes de déterminant 1 est appelé le groupe linéaire spécial de V et noté SL(V).

Il est clair que SL(V) est le noyau de l'homomorphisme ${\displaystyle \ f\mapsto \det(f)}$ de GL(V) dans K - {0} et est donc un sous-groupe normal de GL(V).

Définition

Soient n un entier naturel et K un corps commutatif. Le groupe (multiplicatif) des matrices ${\displaystyle \ n\times n}$ unimodulaires (c'est-à-dire de déterminant égal à 1) à coefficients dans K est noté SL(n. K).

Énoncé 2

Si V est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K et B une base de V, l’application qui fait correspondre à un élément de SL(V) (automorphisme de déterminant 1) sa matrice dans la base B est un isomorphisme de SL(V) sur SL(n, K).

Démonstration. Notions classiques sur les déterminants.

Définition

Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K. Un élément f de GL(V) est appelé une homothétie de V s'il existe un scalaire (non nul) ${\displaystyle \ \alpha }$ tel que ${\displaystyle f=\alpha \ \mathrm {id} _{V}}$, autrement dit tel que pour tout élément x de V, ${\displaystyle \ f(x)=\alpha x.}$ Les homothéties de V forment clairement un sous-groupe de GL(V). Ce sous-groupe est noté Z(V).

Remarque. Nous adoptons ici une terminologie selon laquelle, par définition, une homothétie d'un espace vectoriel non nul est non nulle. Selon une autre terminologie, l'endomorphisme nul est lui aussi une homothétie.

On vérifie facilement que si V n’est pas nul, le scalaire ${\displaystyle \ \alpha }$ est défini de manière unique à partir de f et que ${\displaystyle \ \alpha \mapsto \alpha \ \mathrm {id} _{V}}$ définit un isomorphisme du groupe multiplicatif K - {0} sur Z(V). Le scalaire ${\displaystyle \ \alpha }$ est appelé le rapport de l'homothétie f et f est appelée l'homothétie de rapport ${\displaystyle \ \alpha }$. On vérifie facilement que tout automorphisme d'un espace vectoriel de dimension 1 est une homothétie.

Définition

Les homothéties dont le déterminant est égal à 1 forment le sous-groupe ${\displaystyle \ Z(V)\cap SL(V)}$ de GL(V). Ce sous-groupe est noté SZ(V).

Énoncé 3

Soient V un espace vectoriel sur un corps commutatif K et f un automorphisme de V. Pour que f soit une homothétie, il faut et il suffit que pour tout élément x de V, il existe un scalaire a tel que f(x) = ax.

Démonstration. La condition est évidemment nécessaire. Prouvons qu'elle est suffisante. Supposons donc que pour tout élément x de V, il existe un scalaire a tel que f(x) = ax, et prouvons que f est une homothétie. Il est clair que si l'élément x de V est non nul, il existe un et un seul scalaire a (correspondant à x) tel que f(x) = ax. Nous noterons ce scalaire a_x (et nous éviterons de définir a₀).
Si dim(V) < 2, tout automorphisme de V est une homothétie et notre thèse est banale dans ce cas. Supposons donc dim(V) ${\displaystyle \ \geq 2.}$
Pour prouver que f est une homothétie, il revient au même de prouver que pour tous éléments x, y de V - {0}, a_x = a_y.
Supposons d’abord x et y linéairement indépendants. Alors ${\displaystyle \ x+y\not =0}$ et nous pouvons écrire

${\displaystyle \ f(x+y)=a_{x+y}(x+y)}$

${\displaystyle \ f(x)+f(y)=a_{x+y}x+a_{x+y}y}$

${\displaystyle \ a_{x}x+a_{y}y=a_{x+y}x+a_{x+y}y}$.

Puisque x et y sont supposés linéairement indépendants, a_x et a_y sont donc tous deux égaux à a_{x + y}, donc a_x = a_y comme annoncé.
Si maintenant x et y sont linéairement dépendants, alors, puisque dim(V) ${\displaystyle \ \geq 2,}$ nous pouvons choisir un élément z de V qui n'appartient pas à Kx = Ky. Alors x et z (resp. y et z) sont linéairement indépendants, donc, d’après ce qui précède, a_x et a_y sont tous deux égaux à a_z, d'où encore a_x = a_y.

Énoncé 4

Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K.
Le centralisateur de SL(V) dans GL(V) est Z(V).
Le centre de GL(V) est Z(V) et le centre de SL(V) est SZ(V).

Démonstration. Soient a un scalaire non nul et f un élément de GL(V). La relation f(ax) = a f(x), vraie pour tout élément x de V, montre que ${\displaystyle \ f\circ (a\ \mathrm {id} _{V})=(a\ \mathrm {id} _{V})\circ f,}$ donc toute homothétie commute avec tout élément de GL(V) et, en particulier, avec tout élément de SL(V).
Prouvons maintenant que si un élément de GL(V) commute avec tout élément de SL(V), c’est une homothétie. Il revient au même de prouver que si un élément f de GL(V) n’est pas une homothétie, il ne commute pas avec tout élément de SL(V). D'après l'énoncé 3, il existe un élément x de V - {0} tel que x et f(x) soient linéairement indépendants. Complétons (x, f(x)) en une base (x, f(x), x₃, ... , x_n) de V. Alors la famille (x, x + f(x), x₃, ... , x_n) est elle aussi une base de V (si à un élément d'une base on ajoute un autre élément de la même base, on obtient encore une base). Il existe donc un (et un seul) automorphisme g de V qui applique la première de ces deux bases sur la seconde, c'est-à-dire tel que

${\displaystyle \ g(x)=x,\ g(f(x))=x+f(x),\ g(x_{i})=x_{i}}$ pour tout ${\displaystyle \ i\geq 2.}$

Le déterminant de g est égal à 1 (par exemple parce que la matrice de g dans la base (x, f(x), x₃, ... , x_n) est une matrice triangulaire supérieure dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1), donc g appartient à SL(V). Enfin, f et g ne commutent pas, car, par définition de g, g(f(x)) = x + f(x) et, d’autre part, f(g(x)) = f(x).
Nous avons donc prouvé que toute homothétie commute avec tout élément de GL(V) et que si un élément de GL(V) commute avec tout élément de SL(V), c’est une homothétie. Il en résulte clairement que le groupe Z(V) des homothéties est le centralisateur de SL(V) dans GL(V) et est aussi le centre de GL(V). Le centre de SL(V) est donc ${\displaystyle \ SL(V)\cap Z(V),}$ c'est-à-dire SZ(V).

Définition

Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif. Le groupe quotient de SL(V) par son centre SZ(V) est appelé le groupe linéaire spécial projectif de V et noté PSL(V).

Au lieu de « groupe linéaire spécial projectif », on rencontre aussi « groupe projectif spécial linéaire » et « groupe projectif unimodulaire^[1] ».

Énoncé 5

Soit V un espace vectoriel non nul de dimension finie n sur un corps (commutatif) fini K à q éléments. (D'après un résultat classique d'algèbre, q est alors une puissance de nombre premier.) Alors

${\displaystyle \vert \mathrm {GL} (V)\vert =(q^{n}-1)(q^{n}-q)\ldots (q^{n}-q^{n-1})}$

${\displaystyle \vert \mathrm {SL} (V)\vert =(q^{n}-1)(q^{n}-q)\ldots (q^{n}-q^{n-1})/(q-1)}$

${\displaystyle \vert \mathrm {SZ} (V)\vert =\mathrm {pgcd} (n,q-1)}$

${\displaystyle \vert \mathrm {PSL} (V)\vert =(q^{n}-1)(q^{n}-q)\ldots (q^{n}-q^{n-1})/(q-1)\mathrm {pgcd} (n,q-1)}$

Démonstration. On sait (algèbre linéaire) que les éléments de GL(V) sont en correspondance biunivoque avec les n-uplets de vecteurs linéairement indépendants de Kⁿ. Pour construire un tel n-uplet, nous avons qⁿ - 1 choix possibles pour le premier vecteur (tous les vecteurs non nuls). À un choix du premier vecteur correspondent qⁿ - q choix possibles pour le second vecteur (tous les vecteurs n'appartenant pas au sous-espace de dimension 1 de Kⁿ engendré par le premier vecteur choisi). Il y a donc (qⁿ - 1) (qⁿ - q) choix possibles pour les deux premiers vecteurs. À un choix des deux premiers vecteurs correspondent qⁿ - q² choix possibles pour le troisième vecteur (tous les vecteurs n'appartenant pas au sous-espace de dimension 2 de Kⁿ engendré par les deux premiers vecteurs choisis). En poursuivant, on obtient la valeur de ${\displaystyle \vert \mathrm {GL} (V)\vert }$ donnée dans l'énoncé.
Puisque V est supposé non nul, l'homomorphisme ${\displaystyle \ \mathrm {GL} (V)\rightarrow K\setminus \{0\}:f\mapsto \det(f)}$ est surjectif. Comme SL(V) est le noyau de cet homomorphisme, le premier théorème d'isomorphisme donne

${\displaystyle \ \vert \mathrm {SL} (V)\vert =\vert \mathrm {GL} (V)\vert /(q-1),}$

d'où la valeur de ${\displaystyle \ \vert \mathrm {SL} (V)\vert }$ donnée dans l'énoncé.
Si a est un scalaire non nul, le déterminant de l'homothétie a id_V est aⁿ, donc (puisque ${\displaystyle \ a\mapsto a\ \mathrm {id} _{V}}$ définit un isomorphisme du groupe multiplicatif K - {0} sur Z(V)), ${\displaystyle \vert \mathrm {SZ} (V)\vert }$ est le nombre d'éléments a de K - {0} tels que aⁿ = 1. On sait (chapitre Automorphismes d'un groupe cyclique) que le groupe multiplicatif K - {0} est un groupe cyclique d'ordre q - 1, donc, d’après le chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément, le nombre d'éléments a de K - {0} tels que aⁿ = 1 est pgcd(n, q - 1), d'où la valeur de ${\displaystyle \vert \mathrm {SZ} (V)\vert }$ donnée dans l'énoncé.
Puisque PSL(V) = SL(V)/SZ(V), la quatrième assertion de l'énoncé résulte de la seconde et de la troisième.

Définition et caractérisations des transvections

Lemme 6

Soient V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K, H un hyperplan de V et f un automorphisme de V fixant chaque point de H. Si ${\displaystyle \ \mu }$ désigne le déterminant de f, alors, pour tout élément v de V,

${\displaystyle \ f(v)-\mu \ v\in H.}$

De plus, ${\displaystyle \ \mu }$ est le seul scalaire possédant cette propriété.

Démonstration. L'hypothèse d’après laquelle f fixe chaque point de H entraîne a fortiori ${\displaystyle \ f(H)\subseteq H,}$ donc f induit une transformation linéaire ${\displaystyle \ {\tilde {f}}}$ de V/H telle que, pour tout élément v de V,

${\displaystyle \ {\tilde {f}}(v+H)=f(v)+H.}$

Puisque V/H est de dimension 1, il existe un scalaire ${\displaystyle \ \lambda }$ tel que ${\displaystyle \ {\tilde {f}}}$ soit l'homothétie de rapport ${\displaystyle \ \lambda }$, autrement dit, tel que, pour tout élément v de V,

${\displaystyle \ \qquad {\tilde {f}}(v+H)=\lambda v+H}$

${\displaystyle \ \qquad f(v)+H=\lambda v+H}$

${\displaystyle \ (1)\qquad f(v)-\lambda v\in H.}$

Si ${\displaystyle \ \lambda '}$ était un autre sacalaire possédant cette propriété, on aurait ${\displaystyle \ (\lambda '-\lambda )\ v\in H}$ d'où ${\displaystyle \ v\in H}$ pour tout élément v de V, d'où H = V, contradiction. Donc il existe un et un seul scalaire ${\displaystyle \lambda }$ tel que (1). Il reste à prouver que ${\displaystyle \lambda }$ est le déterminant de f.
Choisissons une base ${\displaystyle \ a_{1},\ldots ,a_{k}}$ de H et un élément w de V - H. Alors ${\displaystyle \ a_{1},\ldots ,a_{k},w}$ forment une base de V.
Soit ${\displaystyle \ f(w)=\gamma _{1}a_{1}+\ldots +\gamma _{k}a_{k}+\gamma _{k+1}w,}$ où les ${\displaystyle \ \gamma _{i}}$ sont des scalaires. Alors ${\displaystyle \ f(w)-\gamma _{k+1}w\in H,}$ d'où, d’après (1), ${\displaystyle \ (\gamma _{k+1}-\lambda )w\in H.}$ Si ${\displaystyle \ \gamma _{k+1}}$ était distinct de ${\displaystyle \ \lambda ,}$ on aurait ${\displaystyle \ w\in H,}$ contradiction. Donc ${\displaystyle \ \gamma _{k+1}=\lambda }$ et la matrice de f dans la base ${\displaystyle \ a_{1},\ldots ,a_{k},w}$ de V est

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0&\gamma _{1}\\0&1&0&\cdots &0&\gamma _{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&\gamma _{k}\\0&0&0&\cdots &0&\lambda \\\end{pmatrix}}}$

On a donc (mineurs de la dernière ligne) ${\displaystyle \ \lambda =\det(f),}$ ce qui achève de démontrer l'énoncé.

Définition

Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif. Un automorphisme de V est appelé une transvection de V s'il est distinct de l'identité, qu’il a pour déterminant 1 et qu’il existe un hyperplan dont il fixe chaque point.

Il est clair que si V admet au moins une transvection, sa dimension est au moins égale à 2. D'autre part, deux différents hyperplans de V engendrent V, donc un automorphisme de V distinct de l'identité ne peut pas fixer chaque point de deux différents hyperplans. Il en résulte que l'hyperplan dont il est question dans la définition d'une transvection est unique.

Définition

Soient K un corps commutatif et n un nombre naturel. Nous dirons qu'une matrice ${\displaystyle \ M=(a_{r,s})_{1\leq r,s\leq n}}$ est une matrice élémentaire de transvection s'il existe des indices i et j distincts (${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$) tels que ${\displaystyle \ a_{i,j}\not =0}$ et que chacun des autres coefficients de M soit égal au coefficient correspondant de la matrice identité. Cela revient à dire que ${\displaystyle \ a_{r,s}=\delta _{r,s}}$ (symbole de Kronecker), sauf si (r, s) = (i, j), auquel cas ${\displaystyle \ a_{r,s}=a_{i,j}\not =\delta _{i,j}=0.}$

Énoncé 7

Toute matrice élémentaire de transvection a un déterminant égal à 1.

Démonstration. On peut dire par exemple qu'une matrice élémentaire de transvection est une matrice triangulaire supérieure ou inférieure dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1.

Notation. Pour i et j distints dans {1, 2, ... , n} et pour ${\displaystyle \ \lambda }$ scalaire, nous noterons ${\displaystyle \ B_{i,j}(\lambda )}$ la matrice à n lignes et n colonnes dont le coefficient de la i-ième ligne et de la j-ième colonne est égal à ${\displaystyle \ \lambda }$ et dont tout autre coefficient est égal au coefficient correspondant de la matrice identité. (Le nombre n est sous-entendu dans la notation.) Si ${\displaystyle \ \lambda \not =0,B_{i,j}(\lambda )}$ est donc une matrice élémentaire de transvection. Si ${\displaystyle \ \lambda =0,B_{i,j}(\lambda )}$ est la matrice identité.

L'expression « matrice élémentaire de transvection » est justifiée par le théorème qui suit.

Énoncé 8

Soient V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K et f un automorphisme de V.
i) Si f est une transvection de V, il existe une base de V dans laquelle la matrice de f est la matrice élémentaire de transvection ${\displaystyle \ B_{2,1}(1)}$;
ii) S'il existe une base de V dans laquelle la matrice de f est une matrice élémentaire de transvection, f est une transvection de V.

Démonstration. Soit f une transvection de V. Il existe donc un hyperplan H de V dont f fixe chaque point. Choisissons un élément w de V - H. Par définition d'une transvection, det(f) = 1, donc, d’après le lemme 6,

(1) f(w) = w + h,

avec h dans H. Si h était nul, f fixerait w, donc (puisque f fixe chaque oint de H) f serait l'identité, ce qui contredit la définition d'une transvection. Donc ${\displaystyle \ h\not =0}$ et on peut compléter {h} en une base ${\displaystyle \ h,h_{3},\ldots h_{n}}$ de H. Alors ${\displaystyle \ w,h,h_{3},\ldots h_{n}}$ est une base de V et, d’après (1), la matrice de f dans cette base est ${\displaystyle \ B_{2,1}(1)}$. Ceci prouve la partie i) de l'énoncé.
Prouvons maintenant la partie ii) de l'énoncé. Soit f un automorphisme de V dont la matrice dans une base ${\displaystyle \ v_{1},\ldots v_{n}}$ de V est ${\displaystyle \ B_{i,j}(\lambda )}$, avec ${\displaystyle \ i\not =j}$ et ${\displaystyle \ \lambda \not =0.}$ Alors f fixe chaque point de l'hyperplan ${\displaystyle \ \sum _{f\not =j}K\ v_{k},}$ ${\displaystyle \ f\not =\mathrm {id} _{V}}$ et det(f) = 1 (énoncé 7), donc f est une transvection.

Énoncé 9

Soient V un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps commutatif K, f une transvection de V et B une base de V. La matrice de f dans B est un conjugué dans le groupe GL(n, K) d'une matrice élémentaire de transvection.

(Le mot « conjugué » n'a évidemment pas le même sens ici que dans l’expression « matrice conjuguée » d'une matrice à coefficients complexes. Dire que deux matrices appartenant au groupe GL(n, K) sont conjuguées dans ce groupe revient à dire qu'elles sont semblables.)

Démonstration. Cela résulte de l'énoncé précédent, compte tenu que la matrice d'un élément de GL(V) dans une base de V et la matrice du même élément de GL(V) dans une autre base de V sont toujours semblables dans GL(n, K) (résultat classique d'algèbre linéaire).

Théorème 10

Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K. Toutes les transvections de V sont conjuguées dans GL(V).

Démonstration. Soient f et g deux transvections de V. Il s'agit de prouver que f et g sont conjuguées dans GL(V). D'après l'énoncé 8, il existe une base A et une base B de V telles que la matrice de f dans A et la matrice de g dans B soient toutes deux égales à ${\displaystyle \ B_{2,1}(1).}$ Or, de façon générale, si f et g sont deux éléments de GL(V), s'il existe une base A et une base B de V telles que la matrice de f dans la base A et la matrice de g dans la base B soient égales, alors f et g sont conjugués dans GL(V). En effet, soient ${\displaystyle \ A=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ et ${\displaystyle \ B=(b_{1},\ldots ,b_{n})}$, soit ${\displaystyle \ (c_{i,j})_{i,j}}$ la matrice de f dans A et de g dans B: désignons par h l'élément de GL(V) tel que ${\displaystyle \ h(a_{i})=b_{i}}$ pour tout i. Alors

${\displaystyle \ h^{-1}\circ g\circ h(a_{j})=h^{-1}(g(b_{j}))=h^{-1}(\sum _{k}c_{k,j}b_{k})=\sum _{k}c_{k,j}a_{k}=f(a_{j})}$,

donc ${\displaystyle \ h^{-1}\circ g\circ h}$ et f coïncident en tout ${\displaystyle \ a_{j}}$ et sont donc égaux.

Remarque. Si la dimension de V est au moins égale à 3, on peut même prouver (voir les exercices^[2]) que les transvections de V sont toutes conjuguées dans SL(V), mais cela ne nous servira pas.

Théorème 11

Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K.
Si f est une transvection de V, il existe une forme linéaire non nulle ${\displaystyle \ \varphi }$ sur V et un vecteur non nul h ${\displaystyle \ \in Ker(\varphi )}$ tel que, pour tout élément v de V,

${\displaystyle \ f(v)=v+\varphi (v)h.}$

Réciproquement, si ${\displaystyle \ \varphi }$ est une forme linéaire non nulle sur V et h un élément non nul de ${\displaystyle \ Ker(\varphi ),}$ alors l’application ${\displaystyle \ v\mapsto v+\varphi (v)h}$ est une transvection de V.

Démonstration. Soit f une transvection de V. D'après l'énoncé 8, il existe une base ${\displaystyle \ v_{1},\ldots ,v_{n}}$ de V dans laquelle la matrice de f est la matrice élémentaire de transvection ${\displaystyle \ B_{2,1}(1).}$ Désignons par ${\displaystyle \ \varphi }$ la forme linéaire qui applique ${\displaystyle \ v_{1}}$ sur 1 et, pour tout i > 1, ${\displaystyle \ v_{i}}$ sur 0. Posons ${\displaystyle \ h=v_{2}.}$ Alors ${\displaystyle \ \varphi }$ est une forme linéaire non nulle sur V, h est un élément non nul du noyau de ${\displaystyle \ \varphi }$ et, pour tout i, on a

${\displaystyle f(v_{i})=v_{i}+\varphi (v_{i})h,}$

d'où, par linéarité, ${\displaystyle f(v)=v+\varphi (v)h}$ pour tout élément v de V, ce qui prouve la première assertion de l'énoncé.
Réciproquement, supposons que ${\displaystyle \ \varphi }$ est une forme linéaire non nulle sur V et h un élément non nul de ${\displaystyle \ Ker(\varphi ),}$ et prouvons que l’application ${\displaystyle \ f:V\rightarrow :v\mapsto v+\varphi (v)h}$ est une transvection de V.
Puisque ${\displaystyle \ \varphi }$ est une forme linéaire non nulle, son noyau est un hyperplan de V. Complétons {h} en une base ${\displaystyle \ (h,h_{3},\ldots ,h_{n})}$ de ${\displaystyle \ Ker(\varphi )}$ et complétons cette base de ${\displaystyle \ Ker(\varphi )}$ en une base ${\displaystyle \ (w,h,h_{3},\ldots ,h_{n})}$ de V. Quitte à remplacer w par ${\displaystyle \ \varphi (w)^{-1}w}$, nous pouvons supposer que ${\displaystyle \ \varphi (w)=1.}$ Aors la matrice de f dans la base ${\displaystyle \ (w,h,h_{3},\ldots ,h_{n})}$ de V est ${\displaystyle \ B_{2,1}(1),}$ donc, d’après l'énoncé 8, ii, f est une transvection.

Définition

Soient V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K, ${\displaystyle \varphi }$ une forme linéaire sur V et h un vecteur appartenant au noyau de ${\displaystyle \varphi }$; on notera {${\displaystyle \varphi }$, h} l'endomorphisme ${\displaystyle \ v\mapsto v+\varphi (v)h}$ de V.

Si la forme ${\displaystyle \ \varphi }$ et le vecteur h sont non nuls, il résulte du précédent théorème que {${\displaystyle \varphi }$, h} est une transvection.

Notons que si f est une transvection, la forme non nulle ${\displaystyle \varphi }$ et l'élément non nul h du noyau de ${\displaystyle \varphi }$ tels que ${\displaystyle \ f=\{\varphi ,h\}}$ ne sont pas définis de manière unique, mais seulement à un facteur scalaire de proportionnalité près, comme le montre le point iii) du lemme suivant.

Lemme 12

Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K.
(i) Si ${\displaystyle \ \varphi }$ est une forme linéaire sur V, si h, k sont des éléments du noyau de ${\displaystyle \ \varphi }$, alors

${\displaystyle \ \{\varphi ,h\}\circ \{\varphi ,k\}=\{\varphi ,h+k\}.}$

Si ${\displaystyle \ \varphi }$ et ${\displaystyle \ \psi }$ sont des formes linéaires sur V, si h est un élément des noyaux de ${\displaystyle \ \varphi }$ et de ${\displaystyle \ \psi }$, alors

${\displaystyle \ \{\varphi ,h\}\circ \{\psi ,h\}=\{\varphi +\psi ,h\}.}$

(ii) Si ${\displaystyle \ \varphi }$ est une forme linéaire sur V et h un élément de ${\displaystyle \ \mathrm {Ker} (\varphi ),}$ alors, pour tout scalaire ${\displaystyle \ \alpha }$,

${\displaystyle \ \{\alpha \varphi ,h\}=\{\varphi ,\alpha h\}.}$

(iii) Si ${\displaystyle \ \varphi }$ et ${\displaystyle \ \psi }$ sont des formes linéaires non nulles sur V, si h (resp. k) est un élément non nul du noyau de ${\displaystyle \ \varphi }$ (resp. ${\displaystyle \ \psi }$), la condition ${\displaystyle \ \{\varphi ,h\}=\{\psi ,k\}}$ équivaut à ce qu’il existe un scalaire ${\displaystyle \ \alpha }$ non nul tel que

${\displaystyle \ \psi =\alpha \varphi }$ et ${\displaystyle \ h=\alpha k.}$

(iv) Si ${\displaystyle \ \varphi }$ est une forme linéaire sur V et h un élément de ${\displaystyle \ \mathrm {Ker} (\varphi )}$, si f est un élément de GL(V), alors

${\displaystyle f\circ \{\varphi ,h\}\circ f^{-1}=\{\varphi \circ f^{-1},f(h)\}.}$

Démonstration. Les deux assertions du point (i) et le point (ii) se démontrent par un calcul facile.
Démontrons le point (iii). S'il existe un scalaire ${\displaystyle \ \alpha }$ non nul tel que ${\displaystyle \ \psi =\alpha \varphi }$ et ${\displaystyle h=\alpha k,}$ nous avons, d’après (ii),

${\displaystyle \{\psi ,k\}=\{\alpha \varphi ,k\}=\{\varphi ,\alpha k\}=\{\varphi ,h\}.}$

Réciproquement, soient ${\displaystyle \ \varphi ,\psi }$ des formes linéaires non nulles sur V, h un élément non nul de ${\displaystyle \ \mathrm {Ker} (\varphi )}$ et k un élément non nul de ${\displaystyle \ \mathrm {Ker} (\psi )}$ tels que ${\displaystyle \{\varphi ,h=\{\psi ,k\}.}$
Pour tout élément v de V, nous avons donc

${\displaystyle \ v+\varphi (v)h=v+\psi (v)k}$

d'où, pour tout élément v de V,

${\displaystyle \ \varphi (v)h=\psi (v)k.}$

Puisque ${\displaystyle \ \varphi }$ est non nulle, il existe un élément v de V tel que ${\displaystyle \ \varphi (v)\not =0}$, donc il existe un scalaire ${\displaystyle \ \alpha }$ (à savoir ${\displaystyle \ \varphi (v)^{-1}\psi (v)}$) tel que ${\displaystyle \ h=\alpha k}$; puisque h est non nul, le scalaire ${\displaystyle \ \alpha }$ est non nul.
L'hypothèse ${\displaystyle \{\varphi ,h=\{\psi ,k\}}$ peut s'écrire ${\displaystyle \{\varphi ,\alpha k=\{\psi ,k\}}$, d'où, pour tout élément v de V,

${\displaystyle \ v+\varphi (v)\alpha k=v+\psi (v)k,}$

${\displaystyle \ \varphi (v)\alpha k=\psi (v)k,}$

Puisque k est non nul, on a donc ${\displaystyle \ \alpha \varphi =\psi ,}$ ce qui achève de prouver le point (iii).
Démontrons le point (iv). Il revient au même de prouver que

${\displaystyle \ f\circ \{\varphi ,h\}=\{\varphi \circ f^{-1},f(h)\}\circ f}$

et il suffit pour cela de prouver que pour toute forme linéaire ${\displaystyle \ \psi }$ sur V et tout vecteur h tel que ${\displaystyle \ f(h)\in \mathrm {Ker} (\psi ),}$

${\displaystyle (1)\qquad f\circ \{\psi \circ f,h\}=\{\psi ,f(h)\}\circ f.}$

C'est bien vrai car les deux membres appliquent l'élément v de V sur ${\displaystyle \ f(v)+\psi (f(v))f(h).}$

Remarque Le point (ii) peut se déduire du point (iv). On note d’abord que si ${\displaystyle \ \alpha }$ est nul, les deux membres de (ii) sont égaux à l'identité. Dans le cas où ${\displaystyle \ \alpha }$ n’est pas nul, on pose ${\displaystyle \ f=\alpha \ \mathrm {id} _{V}}$ dans (iv) et on y remplace ${\displaystyle \ \varphi }$ par ${\displaystyle \ \alpha \varphi }$.

Engendrement de SL(V) par les transvections

Énoncé 13

Soient K un corps commutatif, n un nombre naturel, i et j deux indices distincts dans {1, 2, ..., n} et M une matrice ${\displaystyle \ n\times n}$ à coefficients dans K. La matrice ${\displaystyle \ B_{i,j}(\lambda )\ M}$ est la matrice qu'on obtient en ajoutant ${\displaystyle \ \lambda }$ fois la j-ième ligne de M à sa i-ième ligne.

Démonstration. Calcul facile.

Énoncé 14

Soient K un corps commutatif, n un nombre naturel, i et j deux indices distincts dans {1, 2, ..., n}. Pour tous scalaires ${\displaystyle \ \lambda ,\mu ,}$

${\displaystyle \ B_{i,j}(\lambda )\ B_{i,j}(\mu )=B_{i,j}(\lambda +\mu ).}$

En particulier, l'inverse de la matrice ${\displaystyle \ B_{i,j}(\lambda )}$ est la matrice ${\displaystyle \ B_{i,j}(-\lambda ),}$ donc l'inverse d'une matrice élémentaire de transvection est une matrice élémentaire de transvection.

Démonstration. Calcul facile.

Lemme 15

Soient K un corps commutatif et n un nombre naturel. Le groupe SL(n, K) est engendré par les matrices élémentaires de transvection.

Démonstration. Nous allons raisonner par récurrence sur n. Pour n = 1, le groupe SL(n, K) est réduit à l'élément neutre et l’ensemble des matrices élémentaires de transvection est vide, donc l'énoncé est banalement vrai. Soit ${\displaystyle n\geq 2}$; supposons que l'énoncé soit vrai pour n - 1 au lieu de n et prouvons-le pour n. D'après les deux énoncés précédents, il suffit de prouver que si M est une matrice appartenant à SL(n, K), on peut obtenir la matrice identité à partir de M par des applications répétées de l'opération suivante : ajouter à une ligne de la matrice le produit d'une autre ligne par un scalaire.
Cette opération ne modifie pas le déterminant (par exemple parce qu'elle revient à multiplier à gauche par une matrice de transvection élémentaire), donc toutes les matrices que nous obtiendrons ainsi à partir de M appartiendront à SL(n, K).
Soit ${\displaystyle \ M=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}.}$ Puisque ${\displaystyle \ \det(M)=1,}$ et en particulier ${\displaystyle \ \det(M)\not =0,}$ la première colonne de M n’est pas nulle. Si ${\displaystyle \ a_{2,1},\ldots a_{n,1}}$ sont tous nuls, alors ${\displaystyle \ a_{1,1}}$ ne l'est pas et en ajoutant la première ligne à la seconde, on obtient une matrice où le second coefficient de la première colonne est non nul. Cela montre que, dans tous les cas, on peut obtenir à partir de M, par une ou par zéro opérations du type considéré, une matrice ${\displaystyle \ (b_{i,j})}$ où au moins un des coefficients ${\displaystyle \ b_{2,1},\ldots b_{n,1}}$, soit ${\displaystyle \ b_{i,1}}$ (avec ${\displaystyle \ i\geq 2}$), est non nul. En ajoutant à la première ligne un multiple convenable de la i-ième ligne, nous obtenons une matrice dont le coefficient supérieur gauche est égal à 1. En ajoutant à la seconde, à la troisième, ..., à la n-ième ligne un multiple convenable de la première, nous obtenons une matrice de la forme

${\displaystyle \ M_{1}={\begin{pmatrix}1&c_{1,2}&\cdots &c_{1,n}\\0&d_{2,2}&\cdots &d_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&d_{n,2}&\cdots &d_{n,n}\\\end{pmatrix}}}$

Désignons par N la matrice

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d_{2,2}&\cdots &d_{2,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\d_{n,2}&\cdots &d_{n,n}\\\end{pmatrix}}}$

Puisque ${\displaystyle \ \det(M_{1})=1}$, il est clair que det(N) = 1 (voir les mineurs de la première colonne de ${\displaystyle \ M_{1}.}$ Par hypothèse de récurrence, des opérations du type considéré transforment la matrice

${\displaystyle N={\begin{pmatrix}d_{2,2}&\cdots &d_{2,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\d_{n,2}&\cdots &d_{n,n}\\\end{pmatrix}}}$

en la matrice ${\displaystyle \ \mathrm {id} _{n-1}}$: il en résulte clairement que des opérations du type considéré transforment la matrice ${\displaystyle \ M_{1}}$ en la matrice

${\displaystyle M_{2}={\begin{pmatrix}1&c_{1,2}&c_{1,3}&\cdots &c_{1,n}\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\\end{pmatrix}}}$

Ajouter ${\displaystyle \ -c_{1,2}}$ fois la seconde ligne à la première remplace ${\displaystyle \ c_{1,2}}$ par 0 et ne change pas les autres coefficients. Ensuite, ajouter ${\displaystyle \ -c_{1,3}}$ fois la troisième ligne à la première remplace ${\displaystyle \ c_{1,3}}$ par 0 et ne change pas les autres coefficients. En poursuivant, on obtiendra la matrice identité, comme annoncé.

Théorème 16

Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif. Les transvections de V engendrent SL(V).

Démonstration. Soient n la dimension de V et K son corps de base. Choisissons une base ${\displaystyle \ v_{1},\ldots ,v_{n}}$ de V. Si f est un élément de SL(V), la matrice M(f) de f dans la base ${\displaystyle \ v_{1},\ldots ,v_{n}}$ est un élément de SL(n, K) et ${\displaystyle \ f\mapsto M(f)}$ définit un isomorphisme ${\displaystyle \ \sigma }$ de SL(V) sur SL(n, K). D'après le lemme 15, les matrices élémentaires de transvection engendrent SL(n, K), donc les images de ces matrices par ${\displaystyle \ \sigma ^{-1}}$ engendrent SL(V). D'après l'énoncé 8, ces images sont des transvections de V, d'où la thèse.

Action de SL(V) sur l'espace projectif P(V)

Définition

Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K. L'ensemble des classes de la relation d'équivalence Kv = Kw entre éléments v, w de V - {0} est appelé l'espace projectif (associé à V) et noté P(V).

La relation d'équivalence en question revient à dire que v et w sont des éléments non nuls de V et qu’il existe un scalaire (non nul) ${\displaystyle \ \lambda }$ tel que ${\displaystyle \ w=\lambda v.}$
Nous noterons [v] la classe d'un élément de V - {0} selon cette relation d'équivalence. Cette classe est évidemment égale à Kv - {0}.

Soit f un élément de GL(V). Si v et w sont des éléments de V - {0} tels que [v] = [w], alors [f(v)] = [f(w)]. (En effet, il existe un scalaire ${\displaystyle \ \lambda }$ tel que ${\displaystyle \ w=\lambda v,}$ d'où ${\displaystyle \ f(w)=\lambda f(v)}$.) Ceci montre que la relation d'équivalence considérée dans V - {0} est «compatible» avec l'opération naturelle de GL(V) sur V - {0}. On en tire facilement qu’il existe une et une seule opération ${\displaystyle \ \star }$ de GL(V) sur P(V) telle que, pour tout élément f de GL(V) et tout élément x de V - {0},

${\displaystyle \ f\star [x]=[f(x)].}$

Puisque SL(V) est un sous-groupe de GL(V), cette opération de GL(V) sur P(V) induit une opération de SL(V) sur P(V). Quand nous parlerons de l'opération de SL(V) sur P(V), il s'agira toujours de l'opération qui vient d’être définie.

Théorème 17

Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif. Le noyau de l'opération de SL(V) sur P(V) est SZ(V).

Démonstration. Il suffit clairement de prouver que le noyau de l'opération de GL(V) sur P(V) est le groupe Z(V) des homothéties de V.
Un élément f de GL(V) appartient au noyau de cette opération si et seulement si, pour tout élément non nul v de V, [f(v)] = [v]. Autrement dit, un élément f de GL(V) appartient au noyau de l'opération de GL(V) sur P(V) si et seulement si, pour tout élément non nul v de V, il existe un scalaire ${\displaystyle \ \lambda }$ tel que ${\displaystyle \ f(v)=\lambda v.}$ Or, d’après l'énoncé 3, un élément f de GL(V) possède cette propriété si et seulement si c’est une homothétie.

Énoncé 18

Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K, soient ${\displaystyle \ x_{1},x_{2}}$ deux vecteurs linéairement indépendants dans V, soient de même ${\displaystyle \ x'_{1},x'_{2}}$ deux vecteurs linéairement indépendants dans V. Il existe (au moins) un élément f de SL(V) tel que ${\displaystyle \ f(x_{1})=f(x'_{1})}$ et que ${\displaystyle \ f(x_{2})}$ soit de la forme ${\displaystyle \ \lambda x'_{2}}$, avec ${\displaystyle \ \lambda }$ scalaire (non nul).

Démonstration. Classiquement, il existe ${\displaystyle \ g\in GL(V)}$ telle que ${\displaystyle \ g(x_{1})=x'_{1}}$et ${\displaystyle \ g(x_{2})=x'_{2}}$ : prolonger ${\displaystyle \ x_{1},x_{2}}$ (resp. ${\displaystyle \ x'_{1},x'_{2}}$) en une base ${\displaystyle \ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ (resp. ${\displaystyle \ x'_{1},x'_{2},\ldots ,x'_{n}}$) de V et prendre pour g par exemple l'automorphisme de V qui, pour tout ${\displaystyle \ i(1\leq i\leq n)}$, applique ${\displaystyle \ x_{i}}$ sur ${\displaystyle \ x'_{i}}$.
Soit ${\displaystyle \ \mu }$ le déterminant de g. Désignons par f l'automorphisme de V qui applique ${\displaystyle \ x_{1}}$ sur ${\displaystyle \ x'_{1}=g(x_{1}),x_{2}}$ sur ${\displaystyle \ \mu ^{-1}x'_{2}=\mu ^{-1}g(x_{2})}$ et ${\displaystyle \ x_{i}}$ sur ${\displaystyle \ g(x_{i})}$ pour tout ${\displaystyle \ i>2.}$ Alors ${\displaystyle \ f=g\circ h,}$ où h est l'automorphisme de V tel que ${\displaystyle \ h(x_{1})=x_{1},h(x_{2})=\mu ^{-1}x_{2}}$ et ${\displaystyle \ h(x_{i})=x_{i}}$ pour tout ${\displaystyle \ i>2.}$ On sait que ${\displaystyle \ \mathrm {det} (h)=\mu ^{-1},}$ donc ${\displaystyle \ \mathrm {det} (f)=\mathrm {det} (g)\mathrm {det} (h)=\mu \mu ^{-1}=1.}$ L'énoncé est donc vrai (avec ${\displaystyle \ \lambda =\mu ^{-1}}$).

Corollaire 19

Soit V un espace vectoriel de dimension finie ${\displaystyle \ \geq 2}$ sur un corps commutatif. Le groupe SL(V) agit transitivement sur V - {0}.

Démonstration. Soient ${\displaystyle \ x_{1}}$ et ${\displaystyle \ x'_{1}}$ deux éléments de V - {0}. Puisque V est supposé de dimension ${\displaystyle \ \leq 2,}$ nous pouvons choisir ${\displaystyle \ x_{2}}$ et ${\displaystyle \ x'_{2}}$ dans V - {0} tels que ${\displaystyle \ x_{1}}$ et ${\displaystyle \ x_{2}}$ (resp. ${\displaystyle \ x'_{1}}$ et ${\displaystyle \ x'_{2}}$) soient linéairement indépendants. D'après l'énoncé 18, il existe un élément f de SL(V) tel que ${\displaystyle \ f(x_{1})=x'_{1},}$ ce qui démontre l'énoncé.

Théorème 20

Soit V un espace vectoriel de dimension finie ${\displaystyle \ \geq 2}$ sur un corps commutatif. Le groupe SL(V) agit de façon deux fois transitive sur P(V).

Démonstration. Puisque V est de dimension ${\displaystyle \ \geq 2,}$ il est clair que P(V) compte au moins deux éléments. Il reste à prouver que si ${\displaystyle \ [x_{1}],[x_{2}]}$ (resp. ${\displaystyle \ [x'_{1}],[x'_{2}]}$) sont deux différents éléments de P(V), il existe un élément f de SL(V) tel que ${\displaystyle \ [f(x_{1})]=[x'_{1}]}$ et ${\displaystyle \ [f(x_{2})]=[x'_{2}]}$.
Puisque ${\displaystyle \ x_{1}\not =x_{2},}$ les vecteurs ${\displaystyle \ x_{1},x_{2}}$ sont linéairement indépendants. De même, les vecteurs ${\displaystyle \ x'_{1},x'_{2}}$ sont linéairement indépendants. Donc, d’après l'énoncé 18, il existe un élément f de SL(V) tel que ${\displaystyle \ f(x_{1})=x'_{1}}$ et que ${\displaystyle \ f(x_{2})}$ soit de la forme ${\displaystyle \ \lambda x'_{2}}$ avec ${\displaystyle \ \lambda }$ scalaire. Notre thèse en résulte.

Rappelons qu'un groupe est dit parfait s'il est égal à son dérivé.

Théorème 21

Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K. Le groupe SL(V) est parfait sauf dans le cas où dim(V) est égal à 2 et ${\displaystyle \ \vert K\vert }$ à 2 ou à 3.

Démonstration. Prouvons que si ${\displaystyle \ \mathrm {dim} (V)\not =2}$ ou ${\displaystyle \ \vert K\vert \geq 4,}$ alors SL(V) est parfait. Si ${\displaystyle \ \mathrm {dim} (V)\leq 1,}$ SL(V) est réduit à l'élément neutre et est donc parfait. Nous pouvons donc supposer dim(V) > 1.
Puisque, d’après le théorème 16, SL(V) est engendré par les transvections, il suffit, pour prouver que SL(V) est parfait, de prouver que toute transvection de V est un commutateur d'éléments de SL(V).
Montrons qu’il suffit de prouver qu’il existe une transvection de V qui est un commutateur d'éléments de SL(V). Soit f une transvection de V de la forme ${\displaystyle \ g^{-1}h^{-1}gh}$ avec g, h dans SL(V), soit ${\displaystyle \ f_{1}}$ une transvection quelconque de V. D'après le théorème 10, ${\displaystyle \ f}$ et ${\displaystyle \ f_{1}}$ sont des éléments conjugués de GL(V). Donc si, pour tous éléments s, t de GL(V), nous posons ${\displaystyle \ s^{t}=t^{-1}st,}$, il existe un élément u de GL(V) tel que

${\displaystyle f_{1}=f^{u}.}$

Ceci peut s'écrire ${\displaystyle f_{1}=(g^{u})^{-1}(h^{u})^{-1}g^{u}h^{u}.}$
Puisque g et h appartiennent à SL(V), ${\displaystyle \ g^{u}}$ et ${\displaystyle \ h^{u}}$ appartiennent eux aussi à SL(V) (car, comme noté plus haut, SL(V) est normal dans GL(V)), donc ${\displaystyle \ f_{1}}$ est un commutateur d'éléments de SL(V).
Nous avons donc prouvé que s'il existe une transvection de V qui est un commutateur d'éléments de SL(V), alors toute transvection de V est un commutateur d'éléments de SL(V). Il nous suffit donc, comme annoncé, de prouver qu’il existe une transvection de V qui est un commutateur d'éléments de SL(V).
Soit n la dimension de V.
Supposons d’abord ${\displaystyle \ n\geq 3.}$ Le calcul montre que si i, j, k sont trois indices distincts dans {1, 2, ..., n}, alors, pour tous scalaires a, b,

${\displaystyle \ (1)\qquad B_{i,j}(a)B_{j,k}(b)B_{i,j}(a)^{-1}B_{j,k}(b)^{-1}=B_{i,k}(ab).}$

(Écrire ${\displaystyle \ B_{i,j}(a)=1+aE_{i,j}}$, où 1 désigne la matrice identité et E_i,j la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la i-ième ligne et de la j-ième colonne, qui est égal à 1. Comme déjà noté, l'inverse de B_i,j(a) est B_i,j(-a) = 1 - aE_i,j. En développant le premier membre de (1), on obtient une somme où tous les produits E_r,sE_t,u autres que E_i,jE_j,k = E_i,k sont nuls.)
Il résulte clairement de (1) que (si ${\displaystyle \ n\geq 3}$) toute matrice élémentaire de transvection est un commutateur d'éléments de SL(n, K).
Soit t une transvection de V. D'après l'énoncé 8, il existe une base A de V dans laquelle la matrice de t est ${\displaystyle \ B_{2,1}(1).}$ D'après ce qui précède, la matrice de t dans A est donc un commutateur d'éléments de SL(n, K). En prenant les images par l'isomorphisme de SL(n, K) sur SL(V) qui applique une matrice sur l'automorphisme de V qui a cette matrice dans la base A, nous trouvons que t est un commutateur d'éléments de SL(V), ce qui démontre notre thèse dans le cas où ${\displaystyle \ n\geq 3}$.
Reste le cas où ${\displaystyle \ n=2}$ et ${\displaystyle \ \vert K\vert \geq 4.}$
Il existe alors un scalaire ${\displaystyle \ \lambda }$ tel que ${\displaystyle \ \lambda \not =0}$ et ${\displaystyle \ \lambda ^{2}\not =1.}$ La matrice

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{2}-1\\0&1\\\end{pmatrix}}}$

est une matrice élémentaire de transvection. C'est un commutateur d'éléments de SL(2, K), car elle est égale à

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda ^{-1}&0\\0&\lambda \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle ={\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}}$