Soient X et Y des ensembles. Pour tout élément y de Y, ${\displaystyle \ eta\mapsto \eta _{Y,y}}$ définit un homomorphisme injectif du groupe S_X dans le groupe S _{X × Y}. Pour tout sous-groupe H de S_X, H_Y,y est donc un sous-groupe de S _{X × Y} et ${\displaystyle \ \eta \mapsto \eta _{Y,y}}$ définit donc un isomorphisme du groupe H sur le sous-groupe H_Y,y de S _{X × Y}.

Démonstration facile, laissée au lecteur. (Voir les exercices.)

Soient X et Y des ensembles, X étant non vide ; ${\displaystyle \kappa \mapsto \kappa _{X}^{*}}$ définit un homomorphisme injectif du groupe S_Y dans le groupe S _{X × Y}. Pour tout sous-groupe K de S_Y, ${\displaystyle K_{X}^{*}}$ est donc un sous-groupe de S _{X × Y} et ${\displaystyle \kappa \mapsto \kappa _{X}^{*}}$ définit un isomorphisme du groupe K sur le sous-groupe ${\displaystyle \ K_{X}^{*}deS_{X\times Y}.}$

Démonstration facile, laissée au lecteur. (Voir les exercices.)

Soient X et Y des ensembles, soit H un sous-groupe de S_X. La famille ${\displaystyle (H_{Y,y})_{y\in Y}}$ de sous-groupes de S_X×Y est en somme restreinte, c’est-à-dire que le sous-groupe ${\displaystyle <H_{Y,y}\vert y\in Y>}$ de S_X×Y engendré par les ${\displaystyle H_{Y,y}}$, où y parcourt Y, est somme restreinte interne de la famille ${\displaystyle (H_{Y,y})_{y\in Y}.}$

Démonstration facile, laissée au lecteur. (Voir les exercices.)

Soient X et Y des ensembles non vides, soient H et K des groupes de permutations des ensembles X et Y respectivement. Le produit en couronne de H et K (ou de H par K) est par définition^[1] le sous-groupe de S_X×Y engendré par les ${\displaystyle H_{Y,y}}$, où y parcourt Y, et par ${\displaystyle \ K_{X}^{*}.}$

Soient X et Y des ensembles, H un sous-groupe de S_X, K un sous-groupe de S_Y, η un élément de H, y un élément de Y, κ un élément de K; alors

${\displaystyle \kappa _{X}^{*}\ \eta _{Y,y}\ (\kappa _{X}^{*})^{-1}=\eta _{Y,\kappa y}.}$

Démonstration facile, laissée au lecteur. (Voir les exercices.)

Soient X et Y des ensembles non vides, soient H et K des sous-groupes de S_X et de S_Y respectivement. Le produit en couronne H ≀ K est produit semi-direct (interne) de son groupe de base ${\displaystyle <H_{Y,y}\vert y\in Y>}$ par ${\displaystyle \ K_{X}^{*}.}$

D'après le lemme 4, ${\displaystyle \ K_{X}^{*}}$ normalise H_Y,y pour tout élément y de Y, donc ${\displaystyle \ K_{X}^{*}}$ normalise le groupe de base ${\displaystyle <H_{Y,y}\vert y\in Y>}$, donc ${\displaystyle <H_{Y,y}\vert y\in Y>}$ est un sous-groupe normal de H ≀ K. Puisque H ≀ K est engendré par ${\displaystyle <H_{Y,y}\vert y\in Y>}$ et ${\displaystyle \ K_{X}^{*}}$, il ne reste plus qu'à prouver que

${\displaystyle <H_{Y,y}\vert y\in Y>\cap K_{X}^{*}}$

est réduit à l'élément identité de S_X×Y.
Soient y₁, ..., y_n des éléments de Y, soient η₁, ..., η_n des éléments de H, soit κ un élément de K, tels que

(1) ${\displaystyle (\eta _{1})_{Y,y_{1}}\cdots (\eta _{n})_{Y,y_{n}}=\kappa _{X}^{*}}$;

il s'agit de prouver que

(thèse 2) le second membre est égal à l'identité.

D'après la définition de ${\displaystyle \ \eta _{Y,y}}$, la permutation

${\displaystyle (\eta _{1})_{Y,y_{1}}\cdots (\eta _{n})_{Y,y_{n}}}$

ne modifie jamais la seconde composante d'un couple auquel elle s'applique, donc, d'après (1), ${\displaystyle \kappa _{X}^{*}}$ ne modifie jamais la seconde composante d'un couple auquel elle s'applique.
D'autre part, d'après la définition de ${\displaystyle \kappa _{X}^{*}}$, la permutation ${\displaystyle \kappa _{X}^{*}}$ ne modifie jamais la première composante d'un couple auquel elle s'applique. On a donc ${\displaystyle \kappa _{X}^{*}=id_{X\times Y}}$, ce qui prouve la thèse (2).

Soient X et Y des ensembles non vides, Y étant de plus supposé fini; soient H et K des sous-groupes de S_X et de S_Y respectivement. L'ordre du groupe H ≀ K est

${\displaystyle \ \qquad \vert H\wr K\vert =\vert H\vert ^{\vert Y\vert }\vert K\vert .}$

D'après le théorème 5,

(1)${\displaystyle \ \qquad \vert H\wr K\vert =\vert <H_{Y,y}\vert y\in Y>\vert \cdot \vert K_{X}^{*}\vert .}$

Compte tenu du lemme 3 (et du fait que Y est fini),

${\displaystyle \ \qquad \vert <H_{Y,y}\vert y\in Y>\vert =\prod _{y\in Y}\vert H_{Y,y}\vert ,}$

ce qui, d'après le lemme 1, peut s'écrire

(2)${\displaystyle \ \qquad \vert <H_{Y,y}\vert y\in Y>\vert =\vert H\vert ^{\vert Y\vert }.}$

D'autre part, d'après le lemme 2,

${\displaystyle \ \qquad \vert K_{X}^{*}\vert =\vert K\vert .}$

En portant ceci et (2) dans (1), on obtient l'énoncé.

Pour tout groupe de permutations G d'un ensemble T et pour tout élément t de T, on désignera par ${\displaystyle \mathrm {Orb} _{G}(t)}$ l'orbite de t pour l'action naturelle de G sur T.

Soit H un groupe de permutations d'un ensemble non vide X, soit K un groupe de permutations d'un ensemble non vide Y. Pour tout élément x de X et tout élément y de Y,

${\displaystyle \mathrm {Orb} _{H\wr K}(x,y)=\mathrm {Orb} _{H}(x)\times \mathrm {Orb} _{K}(y).}$

En particulier, si H et K sont transitifs, ${\displaystyle H\wr K}$ est transitif.

Soient x ∈ X et y ∈ Y.
Prouvons d'abord que

(thèse 1) ${\displaystyle \mathrm {Orb} _{H}(x)\times \mathrm {Orb} _{K}(y)\subseteq \mathrm {Orb} _{H\wr K}(x,y).}$

Tout élément de ${\displaystyle \mathrm {Orb} _{H\wr K}(x,y)}$ est de la forme

${\displaystyle (\eta x,\kappa y)}$

avec ${\displaystyle \eta \in H,\kappa \in K.}$
Or ${\displaystyle (\eta x,\kappa y)=\kappa _{X}^{*}(\eta x,y)=\kappa _{X}^{*}\circ \eta _{Y,y}(x,y),}$ avec ${\displaystyle \kappa _{X}^{*}\circ \eta _{Y,y}\in H\wr K,}$
donc ${\displaystyle (\eta x,\kappa y)\in \mathrm {Orb} _{H\wr K}(x,y),}$ ce qui prouve la thèse (1).

Réciproquement, prouvons que

(thèse 2) ${\displaystyle \mathrm {Orb} _{H\wr K}(x,y)\subseteq \mathrm {Orb} _{H}(x)\times \mathrm {Orb} _{K}(y).}$

D'après la définition de ${\displaystyle \eta _{Y,y}}$ et celle de ${\displaystyle \kappa _{X}^{*}}$, nous avons, pour toute permutation ${\displaystyle \sigma }$ de ${\displaystyle X\times Y}$ appartenant à ${\displaystyle (\bigcup _{y\in Y}H_{Y,y})\cup K_{X}^{*}}$ et pour tout (x', y') dans ${\displaystyle X\times Y}$,

${\displaystyle \sigma (x',y')\in \mathrm {Orb} _{H}(x')\times \mathrm {Orb} _{K}(y').}$

Donc si ${\displaystyle \sigma _{1},\cdots ,\sigma _{n}}$ sont des permutations de ${\displaystyle X\times Y}$ appartenant à ${\displaystyle (\bigcup _{y\in Y}H_{Y,y})\cup K_{X}^{*}}$,

${\displaystyle \sigma _{n}\circ \cdots \circ \sigma _{1}(x,y)\in \mathrm {Orb} _{H}(x)\times \mathrm {Orb} _{K}(y)}$

(récurrence banale sur n).
Puisque les ${\displaystyle \sigma _{n}\circ \cdots \circ \sigma _{1}}$ en question représentent H ≀ K tout entier, la thèse (2) en résulte.
Les résultats (1) et (2) prouvent la première assertion de l'énoncé.
Si H et K sont transitifs, alors ${\displaystyle \mathrm {Orb} _{H}(x)=X}$ et ${\displaystyle \mathrm {Orb} _{K}(y)=Y}$, d'où la seconde assertion de l'énoncé.

Si H, K et L sont trois groupes de permutations d'ensembles non vides, les groupes de permutations (H ≀ K) ≀ L et H ≀ (K ≀ L) sont semblables.
Plus précisément, si X, Y et Z sont des ensembles non vides, si H, K et L sont respectivement des groupes de permutations de X, de Y et de Z, si f désigne la bijection ((x, y), z) ↦ (x, (y, z)) de (X × Y) × Z sur X × (Y × Z), si ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ désigne l'isomorphisme s ↦ f ∘ s ∘ f⁻¹ de S_{(X × Y) × Z} sur S_{X × (Y × Z)}, alors H ≀ (K ≀ L) est l'image de (H ≀ K) ≀ L par ${\displaystyle {\tilde {f}}}$.

Pour un groupe G et des sous-groupes ${\displaystyle G_{1},\cdots ,G_{n}}$ de G, on notera ${\displaystyle <G_{1},\cdots ,G_{n}>}$ le sous-groupe de G engendré par ${\displaystyle G_{1}\cup \cdots \cup G_{n}}$.
Pour un groupe G, pour une propriété P(x) telle que les x possédant cette propriété forment un ensemble E_P, pour un terme T(x) tel que T(x) appartient à G pour tout x dans E_P, on désignera par ${\displaystyle <T(x)\vert P(x)>}$ le sous-groupe de G engendré par les éléments de G de la forme T(x), x parcourant E_P. On utilisera encore des notations analogues dont le sens sera évident.
G est implicite dans ces notations.

Par définition du produit en couronne de deux groupes de permutations, (H ≀ K) ≀ L est le sous-groupe de S_{(X × Y) × Z} défini par

(1) ${\displaystyle (H\wr K)\wr L=\ <\ <\mu _{Z,z}\vert \mu \in H\wr K,z\in Z>,<\lambda _{X\times Y}^{*}\vert \lambda \in L>\ >,}$

où ${\displaystyle <\lambda _{X\times Y}^{*}\vert \lambda \in L>}$ pourrait d'ailleurs être écrit ${\displaystyle \{\lambda _{X\times Y}^{*}\vert \lambda \in L\}.}$

Pour tout z dans Z, posons

${\displaystyle T_{z}=<\mu _{Z,z}\vert \mu \in H\wr K>.}$

Alors (1) s'écrit

(2) ${\displaystyle (H\wr K)\wr L=\ <\ <T_{z},z\in Z>,<\lambda _{X\times Y}^{*}\vert \lambda \in L>\ >.}$

Il résulte du lemme 1 que, pour un élément z donné de Z, l'application ${\displaystyle \mu \mapsto \mu _{Z,z}}$ est un homomorphisme de ${\displaystyle H\wr K}$ dans S_{(X × Y) × Z}.
Donc, puisque H ≀ K est engendré d'une part par les ${\displaystyle \ \eta _{Y,y}}$ (où ${\displaystyle \ \eta }$ parcourt H et où y parcourt Y) et d'autre part par les ${\displaystyle \kappa _{X}^{*}}$ (où ${\displaystyle \kappa }$ parcourt K), T_z est engendré par les ${\displaystyle \ (\eta _{Y,y})_{Z,z}}$ et les ${\displaystyle \ (\kappa _{X}^{*})_{Z,z}}$, où ${\displaystyle \ \eta }$ parcourt H, où y parcourt Y et où ${\displaystyle \kappa }$ parcourt K.
La relation (2) peut donc s'écrire

(3) ${\displaystyle (H\wr K)\wr L=\ <\ <(\eta _{Y,y})_{Z,z}\vert \eta \in H,y\in Y,z\in Z>,<(\kappa _{X}^{*})_{Z,z}\vert \kappa \in K,z\in Z>,<\lambda _{X\times Y}^{*}\vert \lambda \in L>\ >.}$

D'autre part, par définition du produit en couronne de deux groupes de permutations, H ≀ (K ≀ L) est le sous-groupe de ${\displaystyle S_{X\times (Y\times Z)}}$ défini par

(4) ${\displaystyle H\wr (K\wr L)=\ <\ <\eta _{Y\times Z,(y,z)}\vert \eta \in H,(y,z)\in Y\times Z>,<\nu _{X}^{*}\vert \nu \in K\wr L>\ >.}$

Il résulte du lemme 2 que ${\displaystyle \nu \mapsto \nu _{X}^{*}}$ définit un homomorphisme de K ≀ L dans ${\displaystyle S_{X\times {Y\times Z}}}$. Puisque K ≀ L est engendré d'une part par les ${\displaystyle \kappa _{Z,z}}$ avec κ ∈ K, z ∈ Z et d'autre part par les ${\displaystyle \lambda _{Y}^{*}}$ avec λ ∈ L, la relation (4) peut donc s'écrire

(5) ${\displaystyle H\wr (K\wr L)=\ <\ <\eta _{Y\times Z,(y,z)}\vert \eta \in H,(y,z)\in Y\times Z>,<(\kappa _{Z,z})_{X}^{*}\vert \kappa \in K,z\in Z>,<(\lambda _{Y}^{*})_{X}^{*}\vert \lambda \in L>\ >.}$

Pour prouver le théorème, à savoir que H ≀ (K ≀ L) est l'image de (H ≀ K) ≀ L par :${\displaystyle {\tilde {f}}:S_{(X\times Y)\times Z}\rightarrow S_{X\times (Y\times Z)},}$ il suffit, d'après (3) et (5), de prouver les trois faits suivants :

(thèse 6) pour ${\displaystyle \eta \in H,}$ y ∈ Y et z ∈ Z, ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ applique ${\displaystyle (\eta _{Y,y})_{Z,z}}$ sur ${\displaystyle \eta _{Y\times Z,(y,z)}}$;

(thèse7) pour κ ∈ K et z ∈ Z, ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ applique ${\displaystyle (\kappa _{X}^{*})_{Z,z}}$ sur ${\displaystyle (\kappa _{Z,z})_{X}^{*}}$;

(thèse 8) pour λ ∈ L, ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ applique ${\displaystyle \lambda _{X\times Y}^{*}}$ sur ${\displaystyle (\lambda _{Y}^{*})_{X}^{*}.}$

Prouvons la thèse (6). Nous avons

${\displaystyle f\circ (\eta _{Y,y})_{Z,z}\circ f^{-1}(x,(y',z'))}$

${\displaystyle =f\circ (\eta _{Y,y})_{Z,z}((x,y'),z')}$

${\displaystyle \left\lbrace {\begin{array}{l}=f((x,y'),z')\ \mathrm {si} \ z'\neq z,\\=f(\eta _{Y,y}(x,y'),z)\ \mathrm {si} \ z'=z;\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \left\lbrace {\begin{array}{l}=f((x,y'),z')\ \mathrm {si} \ z'\neq z,\\=f((x,y'),z)\ \mathrm {si} \ z'=z\ \mathrm {et} \ y'\neq y,\\=f((\eta x,y),z)\ \mathrm {si} \ z'=z\ \mathrm {et} \ y'=y;\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \left\lbrace {\begin{array}{l}=f((x,y'),z')\ \mathrm {si} \ y'\neq y\ \{mathrm{ou}\ z'\neq z,\\=f((\eta x,y),z)\ \mathrm {si} \ y'=y\ \mathrm {et} \ z'=z;\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \left\lbrace {\begin{array}{l}=(x,(y',z'))\ \mathrm {si} \ (y',z')\neq (y,z),\\=(\eta x,(y,z))\ \mathrm {si} \ (y',z')=(y,z);\end{array}}\right.}$

${\displaystyle =\eta _{Y\times Z,(y,z)}(x,(y',z')).}$

Cela montre que

${\displaystyle f\circ (\eta _{Y,y})_{Z,z}\circ f^{-1}=\eta _{Y\times Z,(y,z)},}$

autrement dit

${\displaystyle {\tilde {f}}((\eta _{Y,y})_{Z,z})=\eta _{Y\times Z,(y,z)},}$

ce qui est la thèse (6).

La démonstration des thèses (7) et (8), analogue et encore plus simple, est laissée au lecteur.

Pour tout nombre premier p et pour tout nombre naturel r non nul, désignons par v_p(r) l'exposant de p dans la décomposition de r en facteurs premiers.
Soit n un nombre naturel. Alors v_p(n!) peut s'exprimer par les deux formules suivantes :

1° ${\displaystyle v_{p}(n!)=\sum _{j;\ 1\leq j,\ p^{j}\leq n}[n/p^{j}],}$

où les crochets désignent la partie entière;
autrement dit,

${\displaystyle v_{p}(n!)=[n/p]+[n/p^{2}]+[n/p^{3}]+\cdots ,}$

où la somme s'arrête dès qu'un terme est nul;

2° ${\displaystyle v_{p}(n!)=\sum _{j;\ 1\leq j,\ p^{j}\leq n}a_{j}(1+\cdots +p^{j-1}),}$

où les a_j sont les nombres naturels définis par

${\displaystyle \qquad n=a_{0}+a_{1}p+\cdots +a_{i}p^{i}}$

avec ${\displaystyle p^{i}\leq n<p^{i+1},0\leq a_{j}<p}$ pout tout ${\displaystyle j\in \{0,1,...,i\}}$ (écriture de n en base p).

Démontrons l'assertion 1°. Il s'agit de compter les facteurs p dans le produit ${\displaystyle 1\cdot 2\cdots (n-1)\ n.}$ L'idée est de compter d'abord un facteur p dans chacun des nombres 1, 2, ... , n qui est divisible par p, ce qui fournit [n/p] facteurs p, puis de compter un second facteur p dans chacun des nombres 1, 2, ... , n qui est divisible par p², ce qui fournit [n/p²] facteurs p supplémentaires, etc. Voici une mise en forme de cette idée.
Nous avons

${\displaystyle v_{p}(n!)=v_{p}(\prod _{k=1}^{n}k)}$

${\displaystyle v_{p}(n!)=\sum _{k=1}^{n}v_{p}(k)}$

${\displaystyle v_{p}(n!)=\sum _{t}\ \sum _{k;\ v_{p}(k)=t}t}$

${\displaystyle v_{p}(n!)=\sum _{t}t\ \sum _{k;\ v_{p}(k)=t}1}$

${\displaystyle v_{p}(n!)=\sum _{t}tN_{t},}$

où N_t désigne le nombre des ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n\}}$ tels que ${\displaystyle v_{p}(k)=t.}$
Donc

${\displaystyle \qquad v_{p}(n!)=N_{1}+2N_{2}+3N_{3}+\cdots }$

(1) ${\displaystyle \quad v_{p}(n!)=(N_{1}+N_{2}+N_{3}+\cdots )+(N_{2}+N_{3}+\cdots )+\cdots }$

Or ${\displaystyle N_{1}+N_{2}+N_{3}+\cdots }$ est le nombre des ${\displaystyle k\in \{1,...,n\}}$ divisibles par p, donc

${\displaystyle N_{1}+N_{2}+N_{3}+\cdots =[n/p].}$

De même, ${\displaystyle N_{2}+N_{3}+\cdots }$ est le nombre des ${\displaystyle k\in \{1,...,n\}}$ divisibles par p², donc

${\displaystyle N_{2}+N_{3}+\cdots =[n/p^{2}].}$

Notre résultat (1) peut donc s'écrire

${\displaystyle v_{p}(n!)=[n/p]+[n/p^{2}]+[n/p^{3}]+\cdots ,}$

ce qui est l'assertion 1° de l'énoncé. (On peut également démontrer cette assertion par récurrence sur n. Voir les exercices.)

Prouvons maintenant l'assertion 2° de l'énoncé.
D'après l'assertion 1°, nous avons

(2) ${\displaystyle v_{p}(n!)=\sum _{k;\ 1\leq k,\ p^{k}\leq n}[n/p^{k}].}$

De ${\displaystyle n=\sum _{j;\ 0\leq j,p^{j}\leq n}a_{j}p^{j}}$ résulte (pour un k tel qu'en (2))

${\displaystyle {\frac {n}{p^{k}}}=\sum _{j;\ 0\leq j,p^{j}\leq n}a_{j}p^{j-k}}$

(3) ${\displaystyle {\frac {n}{p^{k}}}=\sum _{j;\ j\geq k,p^{j}\leq n}a_{j}p^{j-k}+{\frac {1}{p^{k}}}\sum _{j=0}^{k-1}a_{j}p^{j},}$

où la première somme du second membre est un nombre entier.
Puisque les a_j sont ${\displaystyle \leq p-1}$, la seconde somme du second membre est

${\displaystyle \leq {\frac {p-1}{p^{k}}}\sum _{j=0}^{k-1}p^{j},}$

c'est-à-dire

${\displaystyle \leq {\frac {p-1}{p^{k}}}{\frac {p^{k}-1}{p-1}},}$

et donc < 1. La relation (3) donne donc

${\displaystyle [{\frac {n}{p^{k}}}]=\sum _{j;\ j\geq k,p^{j}\leq n}a_{j}p^{j-k},}$

de sorte que (2) peut s'écrire

${\displaystyle v_{p}(n!)=\sum _{k;\ 1\leq k,\ p^{k}\leq n}\ \sum _{j;\ j\geq k,p^{j}\leq n}a_{j}p^{j-k}}$

${\displaystyle v_{p}(n!)=\sum _{j;\ j\geq 1,\ p^{j}\leq n}a_{j}\ \sum _{k;\ 1\leq k\leq j}p^{j-k},}$

ce qui prouve l'assertion 2° de l'énoncé.

Pour un nombre premier p et un nombre naturel r, nous définissons par récurrence sur r le groupe de permutations W(p, r) :

${\displaystyle W(p,0)=S_{1},}$

${\displaystyle W(p,1)=\lambda (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ),}$

et ${\displaystyle W(p,r+1)=W(p,r)\wr \lambda (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$ pour ${\displaystyle r\geq 1.}$

1° Soient p un nombre premier et r un nombre naturel. Les p-sous-groupes de Sylow de ${\displaystyle S_{p^{r}}}$ sont semblables à W(p, r).

2° Soient p un nombre premier et n un nombre naturel, soit

${\displaystyle n=a_{0}+a_{1}p+\cdots a_{r}p^{r}}$

l'écriture de n en base p. Alors les p-sous-groupes de Sylow de S_n sont isomorphes comme groupes au produit direct de a₁ copies de W(p, 1), de a₂ copies de W(p, 2), ... et de a_r copies de W(p, r).

Démontrons l'assertion 1° de l'énoncé.
Par récurrence sur r, on vérifie que W(p, r) est un groupe de permutations d'un ensemble à p^r éléments. Donc

(1) W(p, r) est semblable à un sous-groupe P de ${\displaystyle S_{p^{r}}.}$

D'autre part, d'après la définition par récurrence de W(p, r) et le théorème 6, nous avons

${\displaystyle \vert W(p,r+1)\vert =\vert W(p,r+1)\vert ^{p}p.}$

On en tire par récurrence sur r, pour tout ${\displaystyle r\geq 0,}$

(2) ${\displaystyle \vert W(p,r)\vert =p^{p^{r-1}+\cdots +p+1},}$

d'où, d'après (1),

(3) ${\displaystyle \vert P\vert =p^{p^{r-1}+\cdots +p+1}.}$

Mais d'après le lemme 9, assertion 1°, l'exposant de p dans la décomposition de (p^r) ! est ${\displaystyle p^{p^{r-1}+\cdots +p+1},}$ donc (3) montre que P est un p-sous-groupe de Sylow de ${\displaystyle S_{p^{r}}.}$ D'après (1), W(p, r) est donc semblable à un p-sous-groupe de Sylow de ${\displaystyle S_{p^{r}}.}$
Puisque les p-sous-groupes de Sylow de ${\displaystyle S_{p^{r}}}$ sont conjugués dans ${\displaystyle S_{p^{r}},}$ ils sont semblables, donc tout p-sous-groupe de Sylow de ${\displaystyle S_{p^{r}}}$ est semblable à W(p, r), ce qui démontre l'assertion 1° de l'énoncé.

Démontrons maintenant l'assertion 2° de l'énoncé.
Puisque, par hypothèse, l'écriture de n en base p est

${\displaystyle n=a_{0}+a_{1}p+\cdots a_{r}p^{r},}$

nous pouvons choisir une partition de l'ensemble {1, 2, ... , n} en a₀ singletons, a₁ parties à p éléments, ... , a_r parties à p^r éléments.
Pour chaque i dans {0, 1, ..., r}, désignons par ${\displaystyle E_{i,1},\ldots E_{i,a_{i}}}$ celles de ces parties dont le cardinal est pⁱ. Pour tout i dans {0, 1, ..., r} et tout j dans {1, ..., a_i}, choisissons un p-sous-groupe de Sylow P_{i, j} de ${\displaystyle S_{E_{i,j}}}$. D'après l'assertion 1° de l'énoncé,

(4) P_i,j est semblable, et donc isomorphe comme groupe, à W(p, i).

En faisant correspondre à chaque permutation ${\displaystyle \sigma }$ de E_i,j la permutation de {1, ... , n} qui coïncide avec ${\displaystyle \sigma }$ en tout élément de E_i,j et qui laisse fixe tout élément de {1, ... , n} \ E_i,j, nous définissons un homomorphisme injectif de ${\displaystyle S_{E_{i,j}}}$ dans S_n. Soit ${\displaystyle {\overline {P_{i,j}}}}$ l'image de ${\displaystyle P_{i,j}}$ par cet homomorphisme. Donc ${\displaystyle {\overline {P_{i,j}}}}$ est un sous-groupe de S_n isomorphe comme groupe à ${\displaystyle P_{i,j}}$.
D'après (4), il en résulte que

(5) ${\displaystyle P_{i,j}}$ est isomorphe comme groupe à W(p, i).

Pour des couples (i, j) et (i', j') distincts, le support de tout élément de ${\displaystyle {\overline {P_{i,j}}}}$ et le support de tout élément de ${\displaystyle {\overline {P_{i',j'}}}}$ sont disjoints. Donc, pour un couple (i, j) donné,

(6) ${\displaystyle {\overline {P_{i,j}}}\cap <{\overline {P_{i',j'}}}\vert (i',j')\neq (i,j)>=1}$

(puisque le support d'une composée de permutations est contenu dans la réunion des supports de ces permutations).
D'autre part, puisque deux permutations à supports disjoints commutent entre elles, les ${\displaystyle {\overline {P_{i,j}}}}$ se centralisent mutuellement. Joint à (6), cela montre que les ${\displaystyle {\overline {P_{i,j}}}}$ sont en produit direct.
Le sous-groupe P de S_n engendré par les ${\displaystyle {\overline {P_{i,j}}}}$ est donc isomorphe au produit direct externe

${\displaystyle {\underset {\underset {j=1,...,a_{i}}{i=0,...,r}}{\times }}{\overline {P_{i,j}}}}$

et donc aussi, d'après (5), au produit direct externe

${\displaystyle {\underset {\underset {j=1,...,a_{i}}{i=0,...,r}}{\times }}W(p,i)}$

ou encore au produit direct externe

${\displaystyle {\underset {i=0,...,r}{\times }}\ \ {\underset {j=1,...,a_{i}}{\times }}W(p,i).}$

Donc si on convient de désigner par ${\displaystyle W(p,i)^{s}}$ le produit direct externe de s groupes égaux à W(p, i),

(7) le sous-groupe P de S_n est isomorphe à ${\displaystyle {\underset {i=0,...,r}{\times }}W(p,i)^{a_{i}}.}$

Puisque le groupe W(p, 0) est trivial, on peut se limiter aux ${\displaystyle i\geq 1}$. D'après (2), l'ordre de P est donc

${\displaystyle \prod _{i=1}^{r}p^{a_{i}(p^{i-1}+\cdots +p+1)},}$

autrement dit

${\displaystyle \vert P\vert =p^{\sum _{i=1}^{r}a_{i}(p^{i-1}+\cdots +p+1)}.}$

D'après l'assertion 2° du lemme 9, cela revient à dire que P est un p-sous-groupe de Sylow de S_n. Donc, d'après (7), il y a un p-sous-groupe de Sylow de S_n qui est isomorphe à ${\displaystyle {\underset {i=0,...,r}{\times }}W(p,i)^{a_{i}}.}$
Puisque les p-sous-groupes de Sylow sont isomorphes entre eux, l'assertion 2° de l'énoncé en résulte.