Rappels

Rappelons quelques faits déjà exposés dans le chapitre Action de groupe.

Soit G un groupe. Nous désignerons par ${\displaystyle S_{G}}$ le groupe symétrique de l’ensemble sous-jacent à G. Rappelons que, pour un ensemble X, nous avons défini le groupe symétrique S_X de X comme l’ensemble des permutations de X, muni de la loi de groupe (f, g) ↦ f ∘ g : x ↦ f(g(x)).

Pour tout élément g de G, x ↦ gx définit une permutation de G, qu'on appellera la translation gauche de G par g. Les translations gauches de G forment un sous-groupe de S_G, qu'on appellea le groupe des translations gauches de G. L'application de G dans le groupe des translations gauches de G qui pour tout élément g de G envoie g sur la translation gauche de G par g est un isomorphisme de G sur le groupe des translations gauches de G. Nous noterons cet isomorphisme l (de left, gauche en anglais) et l'écrirons en exposant. Donc G^l désignera le groupe des translations gauches de G et, pour tout élément g de G, g^l désignera la translation gauche de G par g.

De même, pour tout élément g de G, x ↦ xg définit une permutation de G, qu'on appellera la translation droite de G par g. Les translations droites de G forment un sous-groupe de S_G, qu'on appellera le groupe des translations droites de G. L'application de G dans le groupe des translations gauches de G qui pour tout élément g de G envoie g sur la translation droite de G par g^-1 (noter l'inversion de G) est un isomorphisme de G sur le groupe des translations droites de G. Nous noterons cet isomorphisme r (de right, droit en anglais) et l'écrirons en exposant. Donc G^r désignera le groupe des translations droites de G et, pour tout élément g de G, g^r désignera la translation droite de G par g^-1.

Notons que si une translation (gauche ou droite) de G a un point fixe, cette translation est la permutation identique de G. En effet, si par exemple la translation gauche g^l fixe un point x, alors gx = x, donc g = 1, donc g^l est la permutation identique de G.

Définition de l'holomorphe d'un groupe

Pour un groupe G, on désignera par Aut(G), ou encore Aut G, le groupe des automorphismes de G (sous-groupe de S_G).

Lemme

Soit G un groupe. Le sous-groupe <G^l, Aut G> de S_G engendré par G^l et Aut G est égal au sous-groupe <G^r, Aut G> de S_G engendré par G^r et Aut G

Démonstration. Si c_g désigne l'automorphisme intérieur x ↦ gxg^-1 de G, nous avons

(1) c_g = g^l ∘ g^r.

D'une part, on en tire

g^r = (g^-l)^l∘ c_g

d'où g^r ∈ <G^l, Aut G>,
d'où

(2) <G^r, Aut G> ⊆ <G^l, Aut G>.

D'autre part, la relation (1) donne aussi

g^l = c_g ∘ (g^-l)^r

d'où g^l ∈ <G^r, Aut G>,
d'où

<G^l, Aut G> ⊆ <G^r, Aut G>.

De ceci et de (2) résulte <G^l, Aut G> = <G^r, Aut G>, ce qui démontre l'énoncé.

Définition

Soit G un groupe. Le sous-groupe <G^l, Aut G> = <G^r, Aut G> de S_G est appelé l'holomorphe de G et noté Hol(G), ou encore Hol G.

Popriétés

Théorème

Soit G un groupe. Hol G est le produit semi-direct (interne) de G^l par Aut G. En particulier, Hol G = G^l Aut G.

Démonstration.
Pouvons d’abord que G^l est sous-groupe normal de Hol G. Puisque G^l est engendré par G^l et Aut G, il suffit de prouver que Aut G normalise G^l. Soit φ un automorphisme de G; il s'agit de prouver que, pour tout élément g de G,

(thèse 1) φ g^l φ^-1 ∈ G^l.

Or, pour tout élément x de G, φ g^l φ^-1(x) = φ g^l(φ^-1(x) ) = φ (g^l(φ^-1(x) ) ) = φ (g φ^-1(x) ) = φ (g) φ (φ^-1(x) ) = φ (g) x, ce qui montre que

(2) φ g^l φ^-1 = (φ(g) )^l,

d'où la thèse (1). Nous avons donc prouvé que G^l est sous-groupe normal de Hol G. (On peut même prouver que Hol G est le normalisateur de G^l dans S_G. Voir les exercices.)
Puisque Hol G = <G^l, Aut G>, il reste, pour prouver que Hol G est produit semi-direct de G^l par Aut G, à prouver que

(thèse 3) G^l ⋂ Aut G = id_G

(où id_G désigne la permutation identique de G). Si une translation gauche de G est un automorphisme de G, elle fixe l'élément 1 de G. Or nous avons noté qu'une translation de G qui fixe un élément de G est forcément la permutation identique de G, ce qui prouve la thèse (3).

Exemple. Soit n un nombre naturel. On a vu au chapitre Automorphismes d'un groupe cyclique que les automorphismes du groupe Z/nZ sont les permutations de Z/nZ de la forme x ↦ ax, où a parcourt les éléments inversibles de l'anneau Z/nZ. Donc, d’après le théorème précédent, Hol(Z/nZ) est formé par les permutations de Z/nZ de la forme x ↦ ax + b, où a parcourt les éléments inversibles de l'anneau Z/nZ et b les éléments de Z/nZ.

Théorème

Soit G un groupe. Hol G est isomorphe au produit semi-direct externe de G par Aut G relatif à l'opération naturelle de Aut G sur G.

Démonstration. En prouvant que G^l est normal dans Hol G, on a vu que pour tout élément g de G et pour tout automorphisme φ de G,

(1) φ g^l φ^-1 = (φ(g) )^l.

Désignons par c l'opération de Aut G sur G^l par conjugaison dans Hol G et désignons par n l' opération naturelle de Aut G sur G. Tirons de (1) que c et n sont équivalentes comme opérations de groupe sur groupe par automorphismes. La relation (1) peut s'écrire

${\displaystyle \varphi \cdot _{c}g^{l}=(\varphi \cdot _{n}g)^{l}}$,

avec des notations évidentes. Cela montre que les opérations c et n sont équivalentes ( comme opérations de groupe sur groupe par automorphismes) via l'isomorphisme l de G sur G^l et l'isomorphisme identique de Aut G sur lui-même. Donc, d’après le chapitre Produit semi-direct,

(2) les produits semi-directs externes associés à ces deux opérations sont isomorphes.

De plus, le produit semi-direct externe associé à l'opération c de Aut G sur G^l est isomorphe à Hol G. (En effet, on a vu dans le chapitre Produit semi-direct que si un groupe L est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal H par un sous-groupe K, le produit semi-direct externe de H par K relatif à l'opération de K sur H par conjugaison dans L est isomorphe à L.) De ceci et de (2), il résulte que Hol G est isomorphe au produit semi-direct externe de G par Aut G relatif à l'opération naturelle de Aut G sur G.

En explicitant les automorphismes dont nous avons utilisé l'existence, on voit que (g, φ) ↦ g^l ∘ φ définit un isomorphisme de G ⋊ Aut G (produit semi-direct relatif à l'opération naturelle de Aut G sur G) sur Hol G.

Théorème

Soit G un groupe. Le centralisateur de G^l, aussi bien dans S_G que dans Hol G, est G^r.

Démonstration. Soient a, b des éléments de G. Pour tout élément x de G, nous avons

a^l ∘ b^r (x) = a(xb^-1) = axb^-1

et

b^r ∘ a^l (x) = ax b^-1 = axb^-1,

donc a^l ∘ b^r = b^r ∘ a^l. Cela montre que G^l et G^r se centralisent mutuellement, ce qui revient à dire que G^r est contenu dans le centralisateur de G^l dans S_G.

Prouvons l'inclusion réciproque. Soit σ une permutation de G qui commute avec tout élément de G^l; il s'agit de prouver que σ appartient à G^r. Dire que σ commute avec tout élément de G^l signifie que pour tout élément a de G, σ commute avec a^l. Cela revient à dire que, pour tous éléments a, x de G, σ(ax) = a σ(x). En faisant x = 1, on trouve que, pour tout élément a de G, σ(a) = a σ(1), donc σ est la translation droite x ↦ x σ(1) de G, donc σ appartient à G^r, comme annoncé.

Nous avons donc prouvé que G^r est le centralisateur de G^l dans S_G. Puisque G^l et G^r sont contenus dans Hol G, G^r est aussi le centralisateur de G^l dans Hol G.

Théorème

Tout automorphisme du groupe G^l est la birestriction à G^l d'un automorphisme intérieur de Hol G.

Démonstration. Puisque l : g ↦ g ^l est un isomophisme de G sur G^l, tout automorphisme de G^l est de la forme l ∘ φ ∘ l^-1 pour un certain automorphisme φ de G. Autrement dit :

(1) tout automorphisme de G^l est de la forme g^l ↦(φ(g))^l pour un certain automorphisme φ de G.

Or nous avons noté dans la démonstration d'un précédent théorème que pour tout élément g de G et tout automorphisme φ de G,

φ ∘ g^l ∘ φ^-1 = (φ(g))^l.

Notre résultat (1) signifie donc que tout automorphisme de G^l est de la forme g^l ↦ φ ∘ g^l ∘ φ^-1 pour un certain automorphisme φ de G. L'énoncé en résulte.

Remarque. Puisque G^l est isomorphe à G, le théorème qui précède montre que tout groupe G peut être plongé dans un groupe H tel que tout automorphisme de G soit la birestriction à G d'un automorphisme intérieur de H.

Théorème

Soit G un groupe. Un sous-groupe de G^l est caractéristique dans G^l si et seulement s'il est normal dans Hol G.

Démonstration. Soit H un sous-groupe de G^l. Si H est caractéristique dans G^l, il est normal dans Hol G. En effet, nous avons vu dans le présent chapitre que G^l est normal dans Hol G et dans le chapitre Sous-groupes caractéristiques que, de façon générale, si N est un sous-groupe normal d'un groupe L, si K est un sous-goupe caractéristique de N, alors K est un sous-groupe nomal de L.

Récipoquement, supposons H normal dans Hol G et prouvons qu’il est caractéristique dans G^l. Soit σ un automorphisme de G^l; il s'agit de prouver que

(thèse 1) σ(H) = H.

D'après le théorème précédent, il existe un automorphisme intérieur J de Hol G dont la birestriction à G^l est égale à σ, d'où

(2) σ(H) = J(H).

Puisque J est un automorphisme intérieur de Hol G et que H est supposé normal dans Hol G, nous avons J(H) = H, donc (2) donne σ(H) = H, ce qui est la thèse (1) et achève la démonstration.