Si G est un groupe monogène, tout groupe image de G par un homomorphisme, et en particulier tout groupe quotient de G, est monogène. De façon plus précise, si G est un groupe monogène admettant un élément a pour générateur, si f est un homomorphisme de groupes partant de G, f(G) est un groupe monogène admettant f(a) pour générateur.

Nous avons vu, de façon générale, que si A est une partie de G, si <A> désigne le sous-groupe de G engendré par A, alors f(<A>) est engendré par f(A). En faisant A = {a}, nous trouvons que, dans nos hypothèses, f(G) est engendré par f(a).

Un groupe est monogène si et seulement s'il est isomorphe à un quotient ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, où ${\displaystyle \ n}$ est un nombre naturel ${\displaystyle \geq 0}$. Si un groupe monogène est infini, il est isomorphe à Z; s'il est d'ordre fini s, il est isomorphe à Z/s.Z. Deux groupes monogènes de même ordre sont isomorphes. Plus précisément, si G et H sont deux groupes monogènes de même ordre, si g est un générateur de G et h un générateur de H, il existe un et un seul isomorphisme de G sur H qui applique g sur h; pour tout entier rationnel r, cet isomorphisme applique g^r sur h^r.

Si un groupe est isomorphe à un quotient ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, où ${\displaystyle \ n}$ est un nombre naturel ${\displaystyle \geq 0}$, il est monogène d’après la proposition précédente. Réciproquement, soit G un groupe monogène. Choisissons un élément g de G engendrant G. L'application ${\displaystyle f:n\mapsto g^{n}}$ de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dans G est un homomorphisme surjectif. Le noyau de cet homomorphisme est un sous-groupe de Z, donc est de la forme nZ pour un certain ${\displaystyle n\geq 0}$. D'après le principe de décomposition des homomorphismes (voir Sous-groupe distingué et groupe quotient, premier théorème d'isomorphisme), G est isomorphe à Z/n.Z et, plus précisément, il existe un isomorphisme de Z/n.Z sur G qui applique 1 + n.Z sur g. Nous avons vu que si n > 0, Z/nZ est d'ordre n. Ceci montre tout d’abord que si l’ordre de G est infini, on doit avoir n = 0, de sorte que G est isomorphe à Z; et ensuite que si G est d'ordre fini s, il est isomorphe à Z/sZ.
Comme dans l'énoncé, soient G et H deux groupes monogènes de même ordre, g un générateur de G et h un générateur de H. Désignons par n l’ordre de G et de H si cet ordre est fini et 0 dans le cas contraire. Le principe de décomposition des homomorphismes, appliqué à f, montre non seulement que G est isomorphe à Z/n.Z mais, plus précisément, qu’il existe un isomorphisme ${\displaystyle \lambda }$ de Z/n.Z sur G qui applique 1 + n.Z sur g. De même, il existe un isomorphisme ${\displaystyle \mu }$ de Z/n.Z sur H qui applique 1 + n.Z sur h. Alors ${\displaystyle \mu \circ \lambda ^{-1}}$ est un isomorphisme de G sur H qui applique g sur h. Le reste de l'énoncé se démontre facilement.

On appelle groupe cyclique un groupe monogène fini.

Soit C un groupe cyclique d'ordre n, soit c un générateur de C (autrement dit C = <c>), soit G un groupe, soit g un élément de G tel que ${\displaystyle g^{n}=1}$. Il existe un et un seul homomorphisme de C dans G qui applique c sur g.

Considérons l'homomorphisme ${\displaystyle \varphi :r\mapsto g^{r}}$ de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dans G. Puisque ${\displaystyle g^{n}=1}$, n appartient au noyau de cet homomorphisme, donc ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ est contenu dans le noyau de cet homomorphisme. D'après le renforcement du premier théorème d'isomorphisme (voir Sous-groupe distingué et groupe quotient), il existe donc un (et un seul) homomorphisme f de ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ dans G qui applique ${\displaystyle 1+n\mathbb {Z} }$ sur ${\displaystyle \varphi (1)=g}$. D'autre part, d'après une proposition ci-dessus, il existe un (et un seul) isomorphisme h de C sur ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ qui applique le générateur c de C sur ${\displaystyle 1+n\mathbb {Z} }$. Alors ${\displaystyle f\circ h}$ est un homomorphisme de C dans G qui applique c sur g et (puisque c est un générateur de C) un tel homomorphisme est unique.

Soient n un nombre naturel > 0, G un groupe cyclique d'ordre n et g un générateur de G. Alors les éléments ${\displaystyle g^{0}=1,g^{1}=g,g^{2},\ldots ,g^{n-1}}$ de G sont deux à deux distincts et représentent G tout entier.

Nous l'avons vu (chapitre Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z) dans le cas particulier où G est le groupe Z/nZ et g le générateur 1 + nZ, et nous venons de voir qu’il existe un isomorphisme de Z/nZ sur G qui applique 1 + nZ sur g, d'où on conclut facilement de Z/nZ à G.

Soient ${\displaystyle G}$ un groupe cyclique d'ordre ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle d}$ un diviseur de ${\displaystyle n}$. Alors ${\displaystyle G}$ admet un et un seul sous-groupe d'ordre ${\displaystyle d}$ ; si ${\displaystyle a}$ est un générateur de ${\displaystyle G}$ (noté multiplicativement), l'unique sous-groupe d'ordre ${\displaystyle d}$ de ${\displaystyle G}$ est le sous-groupe engendré par ${\displaystyle a^{n/d}}$.

Commençons par déterminer les sous-groupes de ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$. Soit ${\displaystyle H}$ un tel sous-groupe. D'après la caractérisation que nous avons donnée des sous-groupes d'un groupe quotient, il existe un sous-groupe ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ contenant ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ tel que ${\displaystyle H=S/n\mathbb {Z} }$. D'après ce que nous avons vu des sous-groupes de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, il existe un nombre naturel ${\displaystyle r}$ tel que ${\displaystyle S=r\mathbb {Z} }$. Puisque ${\displaystyle S}$ contient ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$, ${\displaystyle r}$ divise ${\displaystyle n}$. En appliquant la formule des indices aux groupes ${\displaystyle n\mathbb {Z} \subseteq r\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} }$, nous trouvons que le groupe quotient ${\displaystyle r\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ est d'ordre ${\displaystyle n/r}$. Autrement dit, ${\displaystyle H}$ est d'ordre ${\displaystyle n/r}$. Ainsi, pour tout diviseur ${\displaystyle d}$ de ${\displaystyle n}$, le groupe ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ a exactement un sous-groupe d'ordre ${\displaystyle d}$ : le sous-groupe ${\displaystyle {\tfrac {n}{d}}\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, engendré par ${\displaystyle {\tfrac {n}{d}}+n\mathbb {Z} }$.

Ce générateur est la somme de ${\displaystyle {\tfrac {n}{d}}}$ termes égaux à ${\displaystyle 1+n\mathbb {Z} }$, et nous avons vu qu’il existe un isomorphisme de ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ sur ${\displaystyle G}$ qui applique ${\displaystyle 1+n\mathbb {Z} }$ sur ${\displaystyle a}$, donc l'énoncé se transporte de ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ à ${\displaystyle G}$ par cet isomorphisme.

Tout sous-groupe d'un groupe monogène est monogène.

D'après la proposition précédente, tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique. (En effet, soit G un groupe cyclique d'ordre n et H un sous-groupe de G. D'après le théorème de Lagrange, l’ordre d de H divise n et, d’après la proposition précédente, H est le sous-groupe de G engendré par ${\displaystyle \ g^{n/d},}$ où g désigne n’importe quel générateur de G.) Il suffit donc de prouver que si G est un groupe monogène infini, tout sous-groupe de G est monogène. Or G est isomorphe à Z et nous avons vu que tout sous-groupe de Z est de la forme n.Z, donc est monogène. La thèse en résulte clairement. (Soit f un isomorphisme de G sur Z, soit H un sous-groupe de G. Alors f(H) est un sous-groupe de Z, donc est de la forme <a> pour un certain ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$, d'où ${\displaystyle H=f^{-1}(<a>)=<f^{-1}(a)>}$, donc H est monogène.)

Si g est un élément d'un groupe G, on appelle ordre de g (dans G) l’ordre du sous-groupe (monogène) de G engendré par g.

Si g est d'ordre fini s, s est le plus petit nombre naturel r > 0 tel que g^r = 1. De plus, s divise tout entier rationnel a tel que g^a = 1.

Nous avons vu qu’il existe un isomorphisme f de Z/s.Z sur <g> qui applique 1 + s.Z sur g. Puisque, comme nous l'avons vu aussi, les nombres ${\displaystyle 0,1,\ldots ,s-1}$ forment une transversale de s.Z dans Z, s est le plus petit nombre naturel r > 0 tel que r(1 + s.Z) soit nul dans Z/s.Z. En passant aux valeurs par f, nous trouvons que s est le plus petit nombre naturel r > 0 tel que g^r = 1. De plus, s divise évidemment tout entier rationnel a tel que a(1 + s.Z) soit nul dans Z/s.Z; en passant aux valeurs par f, nous trouvons que s divise tout entier rationnel a tel que g^a = 1.

Soit G un groupe fini d'ordre n. Pour tout élément x de G, ${\displaystyle x^{n}=1}$.

Soit d l’ordre de x dans G. Par définition de l’ordre de x, d est l’ordre d'un sous-groupe de G (à savoir <x>), donc, d’après le théorème de Lagrange, d divise n. D'autre part, d’après la proposition précédente, ${\displaystyle x^{d}=1}$. Puisque n est multiple de d, on a donc aussi ${\displaystyle x^{n}=1}$.

Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué d'indice fini n de G. Pour tout élément x de G, ${\displaystyle x^{n}\in H}$.

Le groupe quotient G/H est d'ordre n, donc, d’après le théorème précédent, (xH)ⁿ est égal à l'élément neutre H de G/H. Ceci revient à dire que xⁿH = H, autrement dit ${\displaystyle x^{n}\in H}$.

Soient G un groupe cyclique d'ordre n et d un diviseur naturel de n. Le sous-groupe d'ordre d de G est l’ensemble des éléments x de G tels que x^d = 1.

Désignons par H le sous-groupe d'ordre d de G. Il s'agit de prouver que H est l’ensemble des éléments x de G tels que x^d = 1. Choisissons un générateur a de G. Nous avons vu que H est le sous-groupe de G engendré par ${\displaystyle \ a^{n/d}}$. Donc tout élément x de H est de la forme ${\displaystyle \ x=a^{rn/d}}$ pour un certain entier rationnel r. Alors ${\displaystyle \ x^{d}=a^{rn}}$ et le second membre est égal à 1 d’après un précédent théorème. Ainsi, tout élément x de H satisfait à la relation x^d = 1. Réciproquement, soit x un élément de G tel que x^d = 1. Puisque a est un générateur de G, il existe un entier rationnel s tel que x = a^s. L'hypothèse x^d = 1 peut alors s'écrire a^sd = 1. Puisque a est d'ordre n, il résulte d'un théorème précédent que sd est divisible par n, donc s est divisible par n/d. La relation x = a^s montre dès lors que x est une puissance de ${\displaystyle \ a^{n/d}}$ et appartient donc à H.

Soient G un groupe fini d'ordre n et a un nombre naturel. Pour tout élément x de G, la relation x^a = 1 équivaut à la relation x^d = 1, où d désigne le pgcd de a et n. Si G est cyclique, les éléments x de G tels que x^a = 1 sont en quantité d.

D'après la proposition précédente, il suffit de prouver la première assertion de l'énoncé. Il est clair que si x^d = 1, alors x^a = 1. Réciproquement, supposons x^a = 1 et prouvons x^d = 1. Puisque x^a = 1, il résulte d'un précédent théorème que l’ordre de x divise a. Nous avons vu aussi que xⁿ = 1, donc l’ordre de x divise n. Ainsi, l’ordre de x divise à la fois a et n, donc il divise le plus grand commun diviseur d de a et n, d'où x^d = 1. (On pourrait dire aussi que d’après le théorème de Bézout, chapitre Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z, il existe des entiers rationnels r et s tels que ${\displaystyle \ d=rn+sa,}$ d'où ${\displaystyle \ x^{d}=x^{rn}x^{sa}.}$ D'après un théorème ci-dessus, xⁿ = 1 et, par hypothèse, x^a = 1, donc x^d = 1 comme annoncé.)

Soient G un groupe fini d'ordre n, g un générateur de G et r un entier rationnel. Pour que g^r soit un générateur de G, il faut et il suffit que r soit premier avec n.

Pour que g^r soit un générateur de G, il faut et il suffit qu’il existe un entier rationnel s tel que (g^r)^s = g, autrement dit tel que g^{rs - 1} = 1. Puisque g est d'ordre n, cela revient à dire qu’il existe un entier rationnel s tel que rs - 1 soit divisible par n. D'après le théorème de Bézout, il existe un tel s si et seulement si r est premier avec n.

Les groupes simples commutatifs sont les groupes cycliques d'ordre premier, autrement dit les groupes isomorphes aux groupes ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$, où p parcourt les nombres premiers.

Puisque tout sous-groupe d'un groupe commutatif est distingué, les groupes simples commutatifs sont les groupes commutatifs G tels que G n'ait pas de sous-groupe autre que 1 et G. Prouvons que si p est un nombre premier, ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ est simple. Soit H un sous-groupe de ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$; il s'agit de prouver que H est égal à 0 ou à ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$. L'ordre de H divise p, donc, puisque p est premier, l’ordre de H est 1 ou p. Dans le premier cas, H = 0; dans le second cas, H est ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ tout entier, ce qui, comme nous l'avons vu, prouve que ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ est simple. Puisque tout groupe isomorphe à un groupe simple est simple, il en résulte que tout groupe cyclique d'ordre premier est simple.
Réciproquement, prouvons que tout groupe commutatif simple est isomorphe à un groupe de la forme ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$, où p est un nombre premier. Soit G un groupe commutatif simple, que nous noterons additivement. Par définition d'un groupe simple, G n’est pas réduit à son élément neutre, donc nous pouvons choisir un élément a non nul dans G. Le sous-groupe <a> de G engendré par a n’est pas réduit à l'élément neutre, donc, d’après la caractérisation que nous avons donnée des groupes simples commutatifs, <a> est égal à G tout entier. Ainsi, G est monogène. S'il était infini, il serait isomorphe à ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, qui serait donc un groupe (commutatif) simple (puisque tout groupe isomorphe à un groupe simple est simple). C'est impossible, car le groupe (commutatif) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ n’est pas simple. En effet il admet des sous-groupes, par exemple ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$, qui sont distincts à la fois de 0 et de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Ainsi, G est un groupe monogène fini, autrement dit un groupe cyclique, et il est donc isomorphe à un groupe ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, n étant un nombre naturel > 0. Puisque ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ est isomorphe au groupe simple G, il est lui-même simple. Si n était égal à 1, ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ n'aurait qu'un élément, ce qui contredit la définition des groupes simples. Prouvons que n est premier. Puisque nous venons de prouver que n > 1, il suffit de prouver qu’il n’existe pas de diviseur d de n tel que 1 < d < n. S'il existait un tel diviseur d de n, il existerait un sous-groupe d'ordre d de ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ (voir un précédent théorème). Vu les hypothèses sur d, un tel sous-groupe serait d'ordre > 1 et < n, donc serait distinct de 0 et de ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, ce qui contredit la simplicité de ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$. La contradiction obtenue prouve qu’il n'existe pas de diviseur d de n tel que 1 < d < n, ce qui, comme nous l'avons vu, prouve que n est un nombre premier, ce qui achève la démonstration.