Dans ce chapitre, on va démontrer un théorème de Howson selon lequel l'intersection de deux sous-groupes de type fini d'un groupe libre est elle-même un groupe de type fini. Ce théorème n'est pas une matière classique et peut donc être négligé par le lecteur. On lui fait une place ici parce qu'il peut être démontré à l'aide de lemmes qui nous ont servi à démontrer le théorème de Nielsen-Schreier^[1].

Classes à droite à terminaisons multiples

Définition

Soit X un ensemble; notons F(X) le groupe libre construit sur X. Soit H un sous-groupe de F(X), soit C une classe à droite modulo H dans F(X).
Nous dirons que C est à terminaisons multiples s'il existe dans C deux mots signés non vides n'ayant pas la même dernière lettre signée.

Exemples

1) Si H est réduit à l'élément neutre, toute classe à droite modulo H est un singleton, donc aucune classe à droite modulo H n'est à terminaison multiples.

2) Soit a un élément de X, soit H le sous-groupe <a> de F(X) engendré par a. H comprend a, dont la dernière lettre signée est a, et H comprend aussi a^-1, dont la dernière lettre signée est a^-1, donc la classe H est à terminaisons multiples.

3) Soit X = {a,b,c} un ensemble de cardinal 3, soit H le sous-groupe (monogène) de F(X) engendré par l'élément b^-1ab. La classe à droite H1 = H n'est pas à terminaisons multiples, car ses éléments distincts de 1 ont tous b pour dernière lettre signée. La classe à droite Hc n'est pas à terminaisons multiples, car ses éléments ont tous c pour dernière lettre signée. La classe à droite Hb^-1a^-1 est à terminaisons multiples, puisqu'elle comprend 1b^-1a^-1 = b^-1a^-1, dont la dernière lettre signée est a^-1, et qu'elle comprend aussi (b^-1ab)b^-1a^-1 = b^-1, dont la dernière lettre signée est b^-1.

Lemme.

Soient X un ensemble fini, soit H un sous-groupe du groupe libre F(X) construit sur X. Alors H est de type fini (ce qui, d'après le théorème de Nielsen-Schreier, revient à dire que H est un groupe libre de rang fini) si et seulement si les classes à droite modulo H à terminaisons multiples sont en nombre fini.

Démonstration. D'après le chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier, nous pouvons choisir une transversale droite de Schreier T de H dans F(X). Comme dans le lemme 5 du chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier, désignons par ${\displaystyle h_{t,x}}$, pour tout élément t de T et tout élément x = ((x', 1)) de la base ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ de F(X), l'unique élément de H tel que

${\displaystyle tx\in h_{t,x}T.}$

Cela revient à dire que

${\displaystyle tx=h_{t,x}{\overline {tx}},}$

où, pour tout élément w de F(X), ${\displaystyle {\overline {w}}}$ désigne l'unique élément de T tel que ${\displaystyle w\in H\ {\overline {w}}}$.
Les notations ${\displaystyle h_{t,x}}$ et ${\displaystyle {\overline {w}}}$ dépendent implicitement de H et de T, qui seront fixés durant toute la démonstration.
Désignons par Y l'ensemble

${\displaystyle Y=\{h_{t,x}\vert t\in T,x\in {\tilde {X}},h_{t,x}\not =1\}.}$

D'après le lemme 8 du chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier,

(1) Y est une base du groupe H.

Supposon d'abord que

(hyp. 2) H est de rang fini.

Alors, puisque, comme rappelé en (1), Y est une base de H,

(3) l'ensemble Y des ${\displaystyle h_{t,x}\not =1}$ est fini.

Nous avons vu (chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier, lemme 7) que

si r est un nombre naturel > 0,

si ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{r}}$ sont des éléments de T et ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{r}}$ des éléments de ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ tels que ${\displaystyle h_{t_{1},x_{1}},\ldots ,h_{t_{r},x_{r}}}$ soient tous distincts de 1,

si ${\displaystyle \epsilon _{1},\ldots ,\epsilon _{r}}$ sont des éléments de ${\displaystyle \{1,-1\}\subset \mathbb {Z} ,}$

si le mot signé sur Y

${\displaystyle ((h_{t_{1},x_{1}},\epsilon _{1}),\ldots ,(h_{t_{r},x_{r}},\epsilon _{r}))}$

est réduit sur Y,

alors

(4) l'élément ${\displaystyle h_{t_{1},x_{1}}^{\epsilon _{1}}\cdots h_{t_{r},x_{r}}^{\epsilon _{r}}}$ de F(X) commence (une fois explicité dans F(X) ) par le plus court segment initial de ${\displaystyle h_{t_{1},x_{1}}^{\epsilon _{1}}}$ n'appartenant pas à T.

Puisque, d'après le lemme 3 du chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier, le plus long segment initial de ${\displaystyle h_{t_{1},x_{1}}^{\epsilon _{1}}}$ appartenant à T est un segment initial du plus court segment initial de ${\displaystyle h_{t_{1},x_{1}}^{\epsilon _{1}}}$ n'appartenant pas à T, il résulte de (4) que, sous les mêmes hypothèses,

(5) l'élément ${\displaystyle h_{t_{1},x_{1}}^{\epsilon _{1}}\cdots h_{t_{r},x_{r}}^{\epsilon _{r}}}$ de F(X) commence (une fois explicité dans F(X) ) par le plus long segment initial de ${\displaystyle h_{t_{1},x_{1}}^{\epsilon _{1}}}$ appartenant à T.

D'après le chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier, lemme 5, assertions 4° et 6°,

(6) le plus long segment initial de ${\displaystyle h_{t_{1},x_{1}}}$ appartenant à T est ${\displaystyle t_{1}}$ et le plus long segment initial de ${\displaystyle h_{t_{1},x_{1}}^{-1}}$ appartenant à T est ${\displaystyle {\overline {t_{1}x_{1}}}}$

(où le sens de la barre supérieure est défini comme plus haut).
Puisque, d'après (1) et (3), l'ensemble Y des ${\displaystyle h_{t,x}\not =1}$ est une base finie de H, il résulte de (5) et de (6) qu'

il existe un ensemble fini W de couples ${\displaystyle (t,x)\in T\times X}$, avec ${\displaystyle h_{t,x}\not =1}$, possédant la propriété suivante :

pour tout élément h de ${\displaystyle H\setminus \{1\},}$ il existe ${\displaystyle (t,x)\in W}$ tel que le plus long segment initial de h appartenant à T soit ${\displaystyle t}$ ou ${\displaystyle {\overline {tx}}.}$

Les ${\displaystyle t}$ et les ${\displaystyle {\overline {tx}}}$ correspondant aux éléments (t, x) de W sont en nombre fini, donc notre dernier résultat montre qu'il existe une partie finie T' de T possédant la propriété suivante :

pour tout élément h de ${\displaystyle H\setminus \{1\},}$ le plus long segment initial de h appartenant à T appartient à T'.

Comme T' peut évidemment être prise comprenant l'élément 1 de F(X) (mot signé vide), la restriction ${\displaystyle h\not =1}$ peut être levée :

(7) pour tout élément h de H, le plus long segment initial de h appartenant à T appartient à T'.

Tout segment initial de h appartenant à T est un segment initial du plus long segment initial de h appartenant à T, donc il résulte de (7) que

(8) pour tout élément h de H, tout segment initial de h appartenant à T est un segment initial d'un élément de T'.

Puisque l'ensemble T' est fini, l'ensemble T'' des segments initiaux d'éléments de T' est fini. De plus, puisque T est schreiérienne et que T' est une partie de T, T'' est une partie de T. Donc, d'après (8),

(9) il existe une partie finie T'' de T telle que, pour tout élément h de H, tout segment initial de h appartenant à T appartienne à T''.

Soit C une classe à droite modulo H, distincte de H.
Puisque T est une transversale droite de H dans F(X), il existe un (et un seul) élément t de T tel que

(10) C = H t.

Puisque nous supposons C distincte de H, tous les éléments de C sont distincts du mot signé vide (élément neutre de F(X) ) et ont donc une dernière lettre signée.
Si C est à terminaisons multiples, il existe un élément h de H tel que la dernière lettre signée de l'élément ht de C soit distincte de la dernière lettre signée de l'élément t de C. Cela exige que h finisse par le mot signé t^-1; autrement dit, h^-1 commence par le mot signé t.
Puisque h^-1 appartient à H, il résulte donc de (9) que l'élément t considéré en (10) appartient à T''. Puisque l'ensemble T'' est fini, cela prouve que les classes à droite modulo H distinctes de H et à terminaisons multiples sont en nombre fini. Cela revient évidemment à dire que les classes à droite modulo H (distinctes ou non de H) à terminaisons multiples sont en nombre fini.
L'énoncé du lemme est donc démontré dans l'hypothèse (2), où H est de rang fini.
Supposons maintenant que

(hyp. 11) H est de rang infini.

Alors, puisque, comme rappelé en (1), l'ensemble ${\displaystyle \{h_{t,x}\vert t\in T,x\in {\tilde {X}},h_{t,x}\not =1\}}$ est une base de H, cet ensemble est infini.
Donc, puisque, par hypothèse de l'énoncé, X est fini,

(12) il existe une partie infinie T₀ de T possédant la propriété suivante :

pour tout élément t de T₀, il existe au moins un élément x de ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ tel que ${\displaystyle h_{t,x}\not =1.}$

Puisque T₀ est contenue dans la transversale droite T de H,

(13) les classes à droite Ht, où t parcourt T₀, sont deux à deux distinctes et sont donc en quantité infinie.

Prouvons que

(thèse 14) pour tout élément t de T₀, Ht est à terminaisons multiples.

Soit t un élément de T₀.
D'après (12), nous pouvons choisir x dans ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ tel que

(15) ${\displaystyle h_{t,x}\not =1.}$

Par définition de ${\displaystyle h_{t,x},}$ nous avons ${\displaystyle h_{t,x}\in H,}$ ce qui, d'après le chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier, lemme 5, assertion 1°, peut s'écrire

${\displaystyle tx({\overline {tx}})^{-1}\in H,}$

d'où, par passage aux inverses,

(16) ${\displaystyle {\overline {tx}}x^{-1}t^{-1}\in H.}$

(17) La classe à droite Ht comprend t

et, d'après (16),

(18) Ht comprend aussi ${\displaystyle {\overline {tx}}x^{-1}.}$

Compte tenu de (15) et du chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier, lemme 5, troisième assertion du point 3°,

${\displaystyle x({\overline {tx}})^{-1}}$ commence par la lettre signée x,

donc, par passage aux inverses,

(19) ${\displaystyle {\overline {tx}}x^{-1}}$ finit par la lettre signée ${\displaystyle x^{-1}.}$

D'autre part, d'après le chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier, lemme 5, seconde assertion du point 3°,

(20) t ne finit pas par la lettre signée x^-1.

Des résultats (17) à (20), il résulte que Ht comprend deux mots signés non vides (${\displaystyle t}$ et ${\displaystyle {\overline {tx}}x^{-1}}$) qui ne finissent pas par la même lettre signée. Cela prouve notre thèse (14), à savoir que, pour tout élément t de T₀, Ht est à terminaisons multiples.
Puisque, d'après (13), les classes à droite Ht, où t parcourt T₀, sont en quantité infinie, nous avons donc prouvé que dans l'hypothèse (11), où H est de rang infini, il y a une infinité de classes à droite modulo H qui sont à terminaisons multiples. Joint au résultat obtenu dans le cas où H est de rang fini, cela prouve l'énoncé.

Théorème de Howson

Théorème de Howson

Soit F un groupe libre, soient H et K deux sous-groupes de type fini de F. Alors ${\displaystyle H\cap K}$ est lui aussi un groupe de type fini. (Puisque, d'après le théorème de Nielsen-Schreier, ${\displaystyle H,K}$ et ${\displaystyle H\cap K}$ sont des groupes libres, « de type fini » pourrait être remplacé par « libre(s) de rang fini ».)

Démonstration. Puisque H et K sont supposés de type fini, il résulte d'un problème de la série Groupes, premières notions que

(1) le sous-groupe <H, K> de F engendré par H et K est lui aussi de type fini.

D'autre part, d'après le théorème de Nielsen-Schreier, <H, K> est un groupe libre. Joint à (1), cela montre que H et K sont sous-groupes d'un même sous-groupe libre de type fini de F. Nous sommes donc ramenés au cas où F est libre de rang fini.
Puisque tout groupe libre est isomorphe à un groupe F(X) de même rang, on se ramène facilement au cas où il existe un ensemble fini X tel que H et K soient des sous-groupe de rang fini de F(X).
Soit ${\displaystyle (H\cap K)a}$, avec a dans F(X), une classe à droite modulo ${\displaystyle H\cap K}$ dans F(X).
Alors (vérification facile)

(2) ${\displaystyle (H\cap K)a=(Ha)\cap (Ka).}$

Du fait que ${\displaystyle (H\cap K)a}$ est contenue dans Ha et dans Ka, il résulte que

(3) si ${\displaystyle (H\cap K)a}$ est à terminaisons multiples, Ha et Ka sont à terminaisons multiples.

Puisque H est de rang fini, il résulte du précédent lemme qu'il n'y a qu'un nombre fini de classes à droite modulo H dans F(X) qui sont à terminaisons multiples; soient ${\displaystyle Hb_{1},\ldots Hb_{m}}$ ces classes.
De même, il n'y a qu'un nombre fini de classes à droite modulo K dans F(X) qui sont à terminaisons multiples; soient ${\displaystyle Kc_{1},\ldots Kc_{n}}$ ces classes.
Alors, d'après (2) et (3),

${\displaystyle (H\cap K)a}$ est égale à un ensemble ${\displaystyle Hb_{i}\cap Kc_{j}.}$

Cela montre qu'il n'y a qu'un nombre fini de classes à droite modulo ${\displaystyle H\cap K}$ qui sont à terminaisons multiples. D'après le lemme qui précède (applicable parce que X est fini), ${\displaystyle H\cap K}$ est donc de type fini.

Notes et références