Notons B' la base canonique de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

1. ${\displaystyle T:G\to \operatorname {GL} (V)}$ et ${\displaystyle U:G\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ se correspondent si et seulement si, pour une certaine base B de V (numérotée), on a :

   ${\displaystyle \sigma _{B,V}\circ T=U}$

   c.-à-d., par définition de T' :

   pour tout élément g de G, la matrice de T(g) dans B est égale à la matrice de T'(g) dans B'.

   En notant ${\displaystyle f}$ le ${\displaystyle \mathbb {C} }$-isomorphisme de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ dans V qui envoie B' sur B, cela équivaut à :

   pour tout élément g de G, ${\displaystyle T(g)=f\circ T'(g)\circ f^{-1}}$.

   Donc T et U se correspondent si et seulement si T et T' sont équivalentes.

2. U₁ et U₂ sont équivalentes si et seulement si, pour une certaine matrice ${\displaystyle M\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$, on a :

   pour tout élément g de G, ${\displaystyle U_{2}(g)=M\ U_{1}(g)\ M^{-1}}$

   c.-à-d., par définition de T₁ et T₂ et en notant ${\displaystyle f=\tau _{B',\mathbb {C} ^{n}}(M)}$ (donc ${\displaystyle M=\sigma _{B',\mathbb {C} ^{n}}(f)}$) :

   pour tout élément g de G, ${\displaystyle T_{2}(g)=f\circ T_{1}(g)\circ f^{-1}}$.

   Donc U₁ et U₂ sont équivalentes si et seulement si T₁ et T₂ sont équivalentes.

Dans le groupe ${\displaystyle S_{3}}$, l'élément (1 2 3) est d'ordre 3, l'élément (1 2) est d'ordre 2 et

(1 2) (1 2 3) (1 2)^-1 = (12 3)^-1.

D'autre part, puisque ${\displaystyle \rho }$ est un élément d'ordre 3 du groupe multiplicatif du corps ${\displaystyle \mathbb {C} }$, la matrice ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\rho &0\\0&\rho ^{-1}\\\end{pmatrix}}}$ est un élément d'ordre 3 du groupe ${\displaystyle \mathrm {GL} (2,\mathbb {C} )}$ (voir la formule donnant les puissances d'une matrice diagonale).
De plus, la matrice ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}}$ est un élément d'ordre 2 du groupe ${\displaystyle \mathrm {GL} (2,\mathbb {C} )}$ et

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho &0\\0&\rho ^{-1}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}\rho &0\\0&\rho ^{-1}\\\end{pmatrix}}^{-1}}$

(dans le premier membre, remplacer ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}^{-1}}$ par ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}}$ et, pour calculer le second membre, utiliser la formule donnant l'inverse d'une matrice diagonale).
Comme (1 2) et (1 2 3) engendrent ${\displaystyle S_{3}}$ (par exemple parce qu'ils engendrent un sous-groupe dont l'ordre est divisible par 2 et par 3), il résulte de ce qui précède et de théorèmes du chapitre Groupes diédraux, notamment du théorème « Homomorphismes partant d'un groupe diédral », que ${\displaystyle S_{3}}$ est diédral (d'ordre 6) et qu'il existe un et un seul homomorphisme U du groupe ${\displaystyle S_{3}}$ dans le groupe ${\displaystyle \mathrm {GL} (2,\mathbb {C} )}$ qui applique

(1 2 3) sur ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\rho &0\\0&\rho ^{-1}\\\end{pmatrix}}}$

et

(1 2) sur ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}}$.

Puisque U est un homomorphisme du groupe ${\displaystyle S_{3}}$ dans le groupe ${\displaystyle \mathrm {GL} (2,\mathbb {C} )}$, c'est une ${\displaystyle \mathbb {C} }$-représentation matricielle de degré 2 de ${\displaystyle S_{3}}$. Prouvons que cette représentation est irréductible.
Choisissons un ${\displaystyle \mathbb {C} }$-espace vectoriel V de dimension 2 et une base ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$ de V. Soit T la ${\displaystyle \mathbb {C} }$-représentation vectorielle de ${\displaystyle S_{3}}$ correspondant à U via la base ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$. Pour prouver que U est irréductible, il s'agit de prouver que T est irréductible. Puisque V est de dimension 2, cela revient à prouver qu'il n'y a pas de sous-espace W de dimension 1 de V qui soit invariant par chaque élément de ${\displaystyle T(S_{3})}$. Puisque, comme on l'a noté dans la solution du point a), (1 2 3) et (1 2) engendrent ${\displaystyle S_{3}}$, cela revient à prouver qu'il n'y a pas de sous-espace W de dimension 1 de V qui soit invariant par T( (1 2 3) ) et par T( (1 2) ).
Supposons que, par absurde, il existe un tel sous-espace W. Alors il existe un élément w non nul de V tel que les images de w par T( (1 2 3) ) et par T( (1 2) ) appartiennent toutes deux à ${\displaystyle \mathbb {C} w.}$
Soit ${\displaystyle w=av_{1}+bv_{2},}$ avec a et b dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
Dire que l'image de w par T( (1 2 3) ) appartient à ${\displaystyle \mathbb {C} w}$ revient à dire que ${\displaystyle a\rho v_{1}+b\rho ^{-1}v_{2}}$ appartient à ${\displaystyle \mathbb {C} w}$, donc

${\displaystyle {\begin{array}{|ccc|}\ a&b\ \\\ a\rho &b\rho ^{-1}\ \\\end{array}}=0,}$

${\displaystyle ab(\rho ^{-1}-\rho )=0,}$

(1) ${\displaystyle \qquad ab=0.}$

Dire que l'image de w par T( (1 2) ) appartient à ${\displaystyle \mathbb {C} w}$ revient à dire que ${\displaystyle bv_{1}+av_{2}}$ appartient à ${\displaystyle \mathbb {C} w}$, donc

${\displaystyle {\begin{array}{|ccc|}\ a&b\ \\\ b&a\ \\\end{array}}=0,}$

(2) ${\displaystyle \qquad a^{2}-b^{2}=0.}$

De (1), il résulte qu'un au moins des nombres a, b est nul, donc, d'après (2), a et b sont tous deux nuls, donc w = 0, contradiction. Cette contradiction prouve que T est irréductible, donc U l'est aussi. Nous avons donc trouvé une ${\displaystyle \mathbb {C} }$-représentation matricielle et une ${\displaystyle \mathbb {C} }$-représentation vectorielle toutes deux irréductibles et de degré 2.