On raisonne par récurrence sur l'ordre de G.
Conformément aux hypothèses, choisissons un sous-groupe nilpotent H de G tel que l'indice [G:H] soit de la forme pⁿ, où p est un nombre premier et n un nombre naturel ${\displaystyle \geq 0.}$
Si H est réduit à l'élément neutre, G est d'ordre pⁿ, donc G est nilpotent et a fortiori résoluble, donc l'énoncé est vrai dans ce cas.
On peut donc supposer H > 1.
Alors, puisque H est nilpotent, son centre Z(H) n'est pas réduit à l'élément neutre. (Voir le chapitre Groupes nilpotents.) Choisissons un élément x de Z(H) \ {1}. Alors H est contenu dans le centralisateur ${\displaystyle C_{G}(x)}$ de x dans G. Puisque l'indice de H dans G est égal à pⁿ, il résulte de la formule des indices (chapitre Classes modulo un sous-groupe) que

${\displaystyle [G:C_{G}(x)]}$ est de la forme p^s, avec s ${\displaystyle \geq 0.}$

Cela revient à dire que

(1) le cardinal de la classe de conjugaison de x dans G est de la forme p^s, avec s ${\displaystyle \geq 0.}$

Si G est simple, alors, d'après le « théorème de non-simplicité de Burnside », il faut s = 0, donc, d'après (1), x appartient au centre de G, donc G est un groupe simple dont le centre n'est pas réduit à l'élément neutre, donc G est commutatif et a fortiori résoluble, donc l'énoncé est vrai dans ce cas.
On peut donc supposer que G n'est pas simple.
Choisissons un sous-groupe normal K de G tel que

1 < K < G.

D'après le second théorème d'isomorphisme,

(2) ${\displaystyle HK/K}$ est isomorphe à ${\displaystyle H/H\cap K.}$

Puisque H est nilpotent, son quotient ${\displaystyle H/H\cap K}$ est nilpotent (voir le chapitre Groupes nilpotents), donc, d'après (2),

(3) HK/K est nilpotent.

D'autre part, d'après la formule des indices,

(4) [G/K : HK/K] = [G : HK]

et, toujours d'après la formule des indices, le second membre divise [G:H] et est donc une puissance de p.
Donc, d'après (4),

(5) [G/K : HK/K] est une puissance de p.

Puisque K a été choisi > 1, nous avons

${\displaystyle \vert G/K\vert <\vert G\vert }$.

Compte tenu de ceci, de (3) et de (5), l'hypothèse de récurrence entraîne que

(6) G/K est résoluble.

D'autre part, d'après la formule du produit (chapitre Classes modulo un sous-groupe),

${\displaystyle {\frac {\vert K\vert }{\vert H\cap K\vert }}={\frac {\vert HK\vert }{\vert H\vert }},}$

donc (formule des indices)

${\displaystyle [K:H\cap K]}$ divise ${\displaystyle [G:H],}$

donc

(7) ${\displaystyle [K:H\cap K]}$ est une puissance de p.

Puisque ${\displaystyle H\cap K}$ est nilpotent (comme sous-groupe du groupe nilpotent H) et que K < G par choix de K, la relation (7) et l'hypothèse de récurrence entraînent que

K est résoluble.

Joint à (6), cela prouve que G est résoluble. (Voir chapitre Groupes résolubles.

Notons ${\displaystyle H_{0}}$ le cœur de H dans G. On sait que ${\displaystyle H_{0}}$ est normal dans G et, puisque H est d'indice fini dans G, ${\displaystyle H_{0}}$ est lui aussi d'indice fini dans G. (Voir chapitre Premiers résultats sur les groupes simples.) Donc

(8) ${\displaystyle \qquad G/H_{0}}$ est un groupe fini.

Puique H est nilpotent,

(9) ${\displaystyle H/H_{0}}$ est nilpotent.

D'autre part, la formule des indices donne

${\displaystyle [G:H_{0}]=[G:H][H:H_{0}].}$

Par exemple parce que, ${\displaystyle H/H_{0}}$ étant fini, on peut diviser les deux membres par ${\displaystyle [H:H_{0}]}$, on en tire

${\displaystyle [G/H_{0}:H/H_{0}]=[G:H],}$

donc

(10) ${\displaystyle [G/H_{0}:H/H_{0}]}$ est une puissance de nombre premier.

D'après le point a) du problème, il résulte de (8), (9) et (10) que

(11) le groupe ${\displaystyle G/H_{0}}$ est résoluble.

D'autre part, puisque ${\displaystyle H_{0}}$ est un sous-groupe du groupe nilpotent H, il est nilpotent et donc résoluble. Joint à (11), cela prouve que G est résoluble.