Soit ${\displaystyle \chi }$ un ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractère irréductible de G. La ligne de la table correspondant à ${\displaystyle \chi }$ comprend la valeur ${\displaystyle \chi (1)}$, qui est égale au degré de ${\displaystyle \chi }$ et est donc > 0. La ligne n'est donc pas nulle.
Aucune colonne n'est nulle, puisqu'il existe une ligne dont tous les coefficients sont égaux à 1 (la ligne correspondant au caractère constant de valeur 1).

La colonne correspondant à la classe de conjugaison {1} est formée des degrés ${\displaystyle d_{1},\ldots d_{h}}$ des différents ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractères irréductibles de G et est donc formée uniquement de nombres naturels.
Supposons que, par absurde, la colonne correspondant à une classe de conjugaison ${\displaystyle K\not =\{1\}}$ soit formée uniquement de nombres naturels, soient ${\displaystyle n_{1},\ldots n_{h}}$. En appliquant la seconde relation d'orthogonalité à la colonne correspondant à la classe {1} et à la colonne correspondant à la classe K, nous trouvons

${\displaystyle d_{1}n_{1}+\cdots d_{h}n_{h}=0}$.

Comme les ${\displaystyle d_{i}n_{i}}$ sont tous des nombres réels ${\displaystyle \geq 0}$, cela entraîne ${\displaystyle d_{i}n_{i}=0}$ pour tout i. Puisque ${\displaystyle d_{i}>0}$, on a donc ${\displaystyle n_{i}=0}$ pour tout i. La table comporte donc une colonne nulle, ce qui est impossible d'après un problème ci-dessus.
Remarque. Le même raisonnement prouve que la colonne correspondant à la classe de conjugaison {1} est la seule colonne formée uniquement de nombres réels ${\displaystyle \geq 0}$.

D'après un problème ci-dessus, la colonne correspondant à la classe de conjugaison {1} est la seule colonne de la table comprenant uniquement des nombres naturels. Comme les coefficients de cette colonne sont les degrés, soient ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{h}}$, des ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractères irréductibles de G, on connaît ces degrés. D'après un théorème du chapitre Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés,

${\displaystyle \vert G\vert =d_{1}^{2}+\cdots d_{h}^{2}}$,

donc on connaît ${\displaystyle \vert G\vert }$.
D'autre part, en appliquant la seconde relation d'orthogonalité à la j-ième colonne et à elle-même (${\displaystyle 1\leq j\leq h)}$), on trouve la valeur de ${\displaystyle \vert G\vert /\vert K_{j}\vert }$. Puisqu'on connaît ${\displaystyle \vert G\vert }$, on connaît donc ${\displaystyle \vert K_{j}\vert }$, donc on connaît la deuxième et la troisième ligne de titre de la table.

On utilisera le fait qu'un groupe fini est abélien si et seulement tous ses ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractères irréductibles sont de degré 1 (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés).
Supposons G abélien. Alors tous ses ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractères irréductibles sont de degré 1, donc la colonne de la table correspondant à la classe de conjugaison {1} est formée uniquement de 1.
Réciproquement, supposons que, pour un certain j, la j-ième colonne de la table comprenne uniquement des 1. Cette colonne est formée uniquement de nombres naturels, donc, d'après un problème ci-dessus, c'est la colonne correspondant à la classe de conjugaison {1}. Comme les coefficients de la colonne correspondant à la classe de conjugaison {1} sont les degrés des différents ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractères irréductibles de G, ces degrés sont tous égaux à 1, donc G est abélien.

D'après le chapitre théorique, le nombre des ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractères de degré 1 de G est égal à ${\displaystyle \vert G\vert /\vert G'\vert }$. Le nombre des ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractères de degré 1 est le nombre des coefficients égaux à 1 dans la colonne correspondant à la classe de conjugaison {1} et on a vu dans un problème précédent que la seule connaissance de la table proprement dite permet de repérer cette colonne. Donc la table permet de connaître ${\displaystyle \vert G\vert /\vert G'\vert }$. On a vu au point a) que la table proprement dite permet de connaître ${\displaystyle \vert G\vert }$, donc elle permet de connaître ${\displaystyle \vert G'\vert }$.

Soient a et b des éléments de G tels que ${\displaystyle \chi (a)=\chi (b)}$ pour tout ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractère irréductible de G. Tout revient à prouver que a et b sont conjugués dans G.
On a vu au chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité que les ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractères irréductibles de G forment une base du ${\displaystyle \mathbb {C} }$-espace vectoriel formé par les applications centrales de G dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$. En particulier, les ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractères irréductibles de G engendrent cet espace vectoriel. Puisque nous supposons que ${\displaystyle \chi (a)=\chi (b)}$ pour tout ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractère irréductible de G, il en résulte que

(1) pour toute application centrale f de G dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$, f(a) = f(b).

Désignons par K la classe de conjugaison de b dans G et considérons l'application f de G dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$ définie par f(x) = 1 si x appartient à K, f(x) = 0 sinon. Alors f est une application centrale de G dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (que nous avons déjà rencontrée au chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité, dans la démonstration de la seconde relation d'orthogonalité). Donc, d'après (1), nous avons

f(a) = f(b).

Par définition de f, le second membre égale 1, donc f(a) = 1. Par définition de f, cela signifie que a appartient à K, autrement dit, a et b sont conjugués dans G, ce qu'il fallait démontrer.

Remarque. On aurait pu aussi utiliser la seconde relation d'orthogonalité (et le fait qu'une somme de nombres réels tous ${\displaystyle \geq 0}$ ne peut être nulle que si tous ses termes sont nuls), mais la démonstration donnée a l'avantage de ne pas reposer sur la structure d'ordre entre nombre réels et de pouvoir ainsi s'étendre à certains caractères plus généraux que les ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractères.

Supposons (i) satisfaite et prouvons (ii). Soit ${\displaystyle \chi }$ un ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractère de G; il s'agit de prouver que ${\displaystyle \chi (g)}$ est réel. Puisque nous supposons (i) satisfaite, g et g^-1 sont conjugués, donc, puisque les caractères sont des fonctions centrales,

(1) ${\displaystyle \chi (g)=\chi (g^{-1})}$.

D'après le chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité, ${\displaystyle \chi (g^{-1})={\overline {\chi (g)}}}$, donc (1) peut s'écrire

${\displaystyle \chi (g)={\overline {\chi (g)}}}$,

donc ${\displaystyle \chi (g)}$ est réel. Nous avons donc prouvé que (i) entraîne (ii).
L'implication (ii) ${\displaystyle \Rightarrow }$ (iii) est banale.
Supposons (iii) et prouvons (i).
L'hypothèse (iii) revient à dire que pour tout ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractère irréductible ${\displaystyle \chi }$ de G, ${\displaystyle \chi (g)={\overline {\chi (g)}}}$, ce qui revient encore à dire que pour tout ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractère irréductible ${\displaystyle \chi }$ de G,

${\displaystyle \chi (g)=\chi (g^{-1})}$.

D'après le problème 1, il en résulte que g et g^-1 sont conjugués.

On pourrait examiner la liste des classes de conjugaison d'un groupe diédral qu'on a utilisée dans le chapitre théorique. Sans dresser cette liste, on peut dire ce qui suit. Soit D_2n le groupe diédral d'ordre 2n. D'après le chapitre Groupes diédraux, D_2n contient un sous-groupe cyclique A d'ordre n tel que tout élément b de ${\displaystyle D_{2n}\setminus A}$ soit d'ordre 2 et que pour tout élément a de A et tout élément b de ${\displaystyle D_{2n}\setminus A}$, on ait ${\displaystyle bab^{-1}=a^{-1}}$. Cette dernière relation montre que tout élément de A est conjugué à son inverse. D'autre part, tout élément de ${\displaystyle D_{2n}\setminus A}$, étant d'ordre 2, est égal à son inverse et a fortiori conjugué à son inverse.

Soit G un groupe fini, soit g un élément réel de G distinct de 1; il s'agit de prouver que G est d'ordre pair.
Si ${\displaystyle g=g^{-1}}$, alors (puisque g est supposé distinct de 1), g est d'ordre 2, donc G est d'ordre pair (il contient un sous-groupe d'ordre pair).
Supposons maintenant que ${\displaystyle g\not =g^{-1}}$. Désignons par K la classe de conjugaison de ${\displaystyle g}$ (qui est aussi la classe de conjugaison de ${\displaystyle g^{-1}}$). Pour tout élément h de K, il résulte de ${\displaystyle g\not =g^{-1}}$ que ${\displaystyle h\not =h^{-1}}$ (car h est l'image de g par un automorphisme intérieur de G). De plus, ${\displaystyle h^{-1}}$ appartient à K (par exemple parce que h étant conjugué à g, ${\displaystyle h^{-1}}$ est conjugué à ${\displaystyle g^{-1}}$ et donc, puisque g est réel, à g). Donc la classe de conjugaison K se partitionne en ensembles de cardinal 2 de la forme ${\displaystyle \{h,h^{-1}\}}$, donc cette classe est de cardinal pair. On sait que le cardinal de cette classe est l'indice du stabilisateur de g, donc G contient un sous-groupe d'indice pair, donc G est d'ordre pair.

Pour déterminer les ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractères de degré 1 de G (ce qui revient à déterminer les homomorphismes de G dans le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls), on pourrait utiliser un exercice de la série Groupes dicycliques intitulé « Homomorphismes partant d'un groupe dicyclique », mais on va suivre la méthode plus générale de détermination des caractères de degré 1 qui a été exposée dans le chapitre théorique.
D'après un exercice de la série Groupes dicycliques, nous savons que ${\displaystyle G'=\langle a^{2}\rangle }$, que les éléments de G/G' sont les quatre éléments ${\displaystyle \langle a^{2}\rangle ,\langle a^{2}\rangle a,\langle a^{2}\rangle b}$ et ${\displaystyle \langle a^{2}\rangle ab}$, que si m est pair, G/G' est un groupe de Klein et que si m est impair, G/G' est un groupe cyclique d'ordre 4 admettant ${\displaystyle \langle a^{2}\rangle b}$ pour générateur. Par la méthode indiquée au chapitre théorique, on en déduit que si m est pair (auquel cas G/G' est le produit direct du sous-groupe de G/G' engendré par l'élément ${\displaystyle \langle a^{2}\rangle a}$ et du sous-groupe de G/G' engendré par l'élément ${\displaystyle \langle a^{2}\rangle b}$, les ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractères de degré 1 de G sont les quatre caractères ${\displaystyle \chi _{1},\chi _{2},\chi _{3}}$ et ${\displaystyle \chi _{4}}$ définis de la façon suivante :

${\displaystyle \chi _{1}}$ est constant de valeur 1;

${\displaystyle \chi _{2}(x)=1}$ si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle }$, 1 si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle a}$, -1 si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle b}$, -1 si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle ab}$;

${\displaystyle \chi _{3}(x)=1}$ si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle }$, -1 si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle a}$, 1 si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle b}$, -1 si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle ab}$;

${\displaystyle \chi _{4}(x)=1}$ si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle }$, -1 si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle a}$, -1 si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle b}$, 1 si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle ab}$.

De même, si m est impair, les ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractères de degré 1 de G sont les quatre caractères ${\displaystyle \chi '_{1},\chi '_{2},\chi '_{3}}$ et ${\displaystyle \chi '_{4}}$ définis de la façon suivante :

${\displaystyle \chi '_{1}}$ est constant de valeur 1;

${\displaystyle \chi '_{2}(x)=1}$ si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle }$, -1 si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle a}$, i si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle b}$, -i si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle ab}$;

${\displaystyle \chi '_{3}(x)=1}$ si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle }$, 1 si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle a}$, -1 si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle b}$, -1 si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle ab}$;

${\displaystyle \chi '_{4}(x)=1}$ si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle }$, -1 si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle a}$, -i si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle b}$, i si ${\displaystyle x\in \langle a^{2}\rangle ab}$.

Posons A_j = A^j. D'après un exercice de la série Groupes dicycliques intitulé « Homomorphismes partant d'un groupe dicyclique », il suffit de prouver que

(thèse 1) ${\displaystyle \qquad A_{j}^{2m}=1}$,

(thèse 2) ${\displaystyle \qquad B_{j}^{2}=A_{j}^{m}}$

et

(thèse 3) ${\displaystyle \qquad B_{j}^{-1}A_{j}B_{j}=A_{j}^{-1}}$.

Nous avons

${\displaystyle A_{j}^{2m}=A^{2mj}}$,

d'où, d'après les propriétés des matrices diagonales,

${\displaystyle A_{j}^{2m}={\begin{pmatrix}\zeta ^{2mj}&0\\0&\zeta ^{-2mj}\\\end{pmatrix}}}$.

Puisque ${\displaystyle \zeta }$ est une racine 2m-ième de l'unité, cela peut s'écrire

${\displaystyle \qquad A_{j}^{2m}=1}$,

ce qui est la thèse (1).
De même,

${\displaystyle A_{j}^{m}=A^{jm}=(A^{m})^{j}={\begin{pmatrix}\zeta ^{m}&0\\0&\zeta ^{-m}\\\end{pmatrix}}^{j}}$;

puisque ${\displaystyle \zeta }$ est une racine primitive 2m-ième de l'unité, ${\displaystyle \zeta ^{m}=-1}$, donc notre résultat peut s'écrire

${\displaystyle A_{j}^{m}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}^{j}}$,

(4) ${\displaystyle \qquad A_{j}^{m}={\begin{pmatrix}(-1)^{j}&0\\0&(-1)^{j}\\\end{pmatrix}}}$.

D'autre part, le calcul donne

(5) ${\displaystyle \qquad B_{j}^{2}={\begin{pmatrix}(-1)^{j}&0\\0&(-1)^{j}\\\end{pmatrix}}}$.

La comparaison avec (4) donne

${\displaystyle \qquad B_{j}^{2}=A_{j}^{m}}$,

ce qui est la thèse (2).
La relation (5) entraîne ${\displaystyle B_{j}^{4}=1}$, donc

${\displaystyle B_{j}^{-1}=B_{j}^{3}}$,

(6) ${\displaystyle B_{j}^{-1}=B_{j}^{2}B_{j}}$;

d'après (5), ${\displaystyle B_{j}^{2}}$ est la matrice scalaire ${\displaystyle (-1)^{j}}$, donc (6) peut sécrire

${\displaystyle B_{j}^{-1}=(-1)^{j}B_{j}}$,

${\displaystyle B_{j}^{-1}={\begin{pmatrix}0&1\\(-1)^{j}&0\\\end{pmatrix}}}$,

donc

${\displaystyle B_{j}^{-1}A_{j}B_{j}={\begin{pmatrix}0&1\\(-1)^{j}&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{j}&0\\0&\zeta ^{-j}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&(-1)^{j}\\1&0\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle B_{j}^{-1}A_{j}B_{j}={\begin{pmatrix}\zeta ^{-j}&0\\0&\zeta ^{j}\\\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle \qquad B_{j}^{-1}A_{j}B_{j}=A_{j}^{-1}}$, ce qui est la thèse (3).

Soit V un ${\displaystyle \mathbb {C} }$-espace vectoriel de dimension 2, soit ${\displaystyle (v_{1},v_{2}}$ une base de V.
Pour tout ${\displaystyle j\in \{1,2,\ldots ,m-1\}}$, notons ${\displaystyle \alpha _{j}}$ (resp. ${\displaystyle \beta _{j}}$) l'automorphisme de V ayant

${\displaystyle T_{j}(a)={\begin{pmatrix}\zeta ^{j}&0\\0&\zeta ^{-j}\\\end{pmatrix}}}$ (resp. ${\displaystyle T_{j}(b)={\begin{pmatrix}0&(-1)^{j}\\1&0\\\end{pmatrix}}}$)

pour matrice dans la base ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$.
Prouver que T_j est irréductible revient à prouver que si v est un élément de V tel que ${\displaystyle \alpha _{j}(v)}$ et ${\displaystyle \beta _{j}(v)}$ appartiennent tous deux à ${\displaystyle \mathbb {C} v}$, alors v = 0.
Soit ${\displaystyle v=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}}$, avec ${\displaystyle c_{1},c_{2}\in \mathbb {C} }$.
Tout d'abord, l'hypothèse ${\displaystyle \alpha _{j}(v)\in \mathbb {C} v}$ signifie que

${\displaystyle c_{1}\zeta ^{j}v_{1}+c_{2}\zeta ^{-j}v_{2}\in \mathbb {C} (c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2})}$,

d'où

${\displaystyle {\begin{array}{|cc|}c_{1}\zeta ^{j}&c_{2}\zeta ^{-j}\\c_{1}&c_{2}\\\end{array}}=0}$,

${\displaystyle c_{1}c_{2}\ {\begin{array}{|cc|}\zeta ^{j}&\zeta ^{-j}\\1&1\\\end{array}}=0}$,

(1) ${\displaystyle \qquad c_{1}c_{2}(\zeta ^{j}-\zeta ^{-j})=0}$.

Si ${\displaystyle \zeta ^{j}-\zeta ^{-j}}$ était nul, on aurait ${\displaystyle \zeta ^{2j}=1}$ avec ${\displaystyle 1\leq j\leq m-1}$, ce qui est impossible puisque ${\displaystyle \zeta }$ est d'ordre 2m dans le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls. Donc ${\displaystyle \zeta ^{j}-\zeta ^{-j}\not =0}$, donc (1) donne

${\displaystyle c_{1}c_{2}=0}$,

donc

(2) ${\displaystyle \qquad c_{1}}$ ou ${\displaystyle c_{2}}$ est nul.

Ensuite, l'hypothèse ${\displaystyle \beta _{j}(v)\in \mathbb {C} v}$ signifie que

${\displaystyle c_{2}(-1)^{j}v_{1}+c_{1}v_{2}\in \mathbb {C} (c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2})}$

d'où

${\displaystyle {\begin{array}{|cc|}c_{2}(-1)^{j}&c_{1}\\c_{1}&c_{2}\\\end{array}}=0}$,

(3) ${\displaystyle \qquad c_{2}^{2}(-1)^{j}-c_{1}^{2}=0}$.

On a vu en (2) que ${\displaystyle c_{1}}$ ou ${\displaystyle c_{2}}$ est nul, donc, d'après (3), ${\displaystyle c_{1}}$ et ${\displaystyle c_{2}}$ sont tous deux nuls, donc v = 0. Comme on l'a vu, cela prouve que T_j est irréductible.

Pour ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,m-1\}}$, désignons par ${\displaystyle \psi _{j}}$ le caractère de la représentation T_j.
Il suffit de prouver que les caractères ${\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{m-1}}$ sont deux à deux distincts et, pour cela, il suffit de prouver que les nombres ${\displaystyle \psi _{1}(a),\ldots ,\psi _{m-1}(a)}$ sont deux à deux distincts.
Pour tout j, nous avons

${\displaystyle \psi _{j}(a)=Tr(T_{j}(a))}$

${\displaystyle \psi _{j}(a)=Tr{\begin{pmatrix}\zeta ^{j}&0\\0&\zeta ^{-j}\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \psi _{j}(a)=\zeta ^{j}+\zeta ^{-j}}$.

Il suffit donc de prouver que pour tout nombre naturel n non nul, si ${\displaystyle \epsilon }$ désigne ${\displaystyle e^{2\pi i/n}}$, si j, j' sont deux différents nombres naturels tels que ${\displaystyle 1\leq j,j'}$ et ${\displaystyle 2j,2j'<n}$, alors

${\displaystyle \epsilon ^{j}+\epsilon ^{-j}\not =\epsilon ^{j'}+\epsilon ^{-j'}}$

(faire alors n = 2m et ${\displaystyle \epsilon =\zeta }$). Or on l'a démontré dans le chapitre théorique en déterminant les ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractères irréductibles des groupes diédraux.

Nous avons trouvé quatre ${\displaystyle \mathbb {C} }$-représentations (irréductibles) de degré 1 et m-1 ${\displaystyle \mathbb {C} }$-représentations irréductibles de degré 2, deux à deux non équivalentes, de G. D'après le problème « Classes de conjugaison d'un groupe dicyclique » de la série Groupes dicycliques, G admet exactement m+3 classes de conjugaison, donc les caractères des m+3 représentations que nous avons trouvées sont les m+3 différents ${\displaystyle \mathbb {C} }$-caractères irréductibles de G.
(On pourrait aussi noter que

${\displaystyle 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+(m-1)2^{2}=4m=\vert G\vert }$

et appliquer un des théorèmes sur les degrés des caractères.)
Toujours d'après le problème « Classes de conjugaison d'un groupe dicyclique » de la série Groupes dicycliques, les classes de conjugaison de G sont

${\displaystyle \{1\},\{a,a^{2m-1}\},\{a^{2},a^{2m-2}\},\ldots ,\{a^{m-1},a^{m+1}\},\{a^{m}\},b\langle a^{2}\rangle }$ et ${\displaystyle ba\langle a^{2}\rangle }$.

Pour chacun des m+3 caractères irréductibles trouvés, soit ${\displaystyle \chi }$, les résultats du point a) et les définitions du point b) permettent d'expliciter facilement ${\displaystyle \chi (1),\chi (a),\chi (a^{2}),\ldots ,\chi (a^{m-1}),\chi (a^{m}),\chi (b)}$ et ${\displaystyle \chi (ba)=\chi (ab)}$. Voici dès lors une façon de présenter la table des caractères.

Les trois lignes de titre sont

${\displaystyle {\begin{array}{r|cccccccc}K\ :&\{1\}&\{a,a^{2m-1}\}&\{a^{2},a^{2m-2}\}&...&\{a^{m-1},a^{m+1}\}&\{a^{m}\}&b\langle a^{2}\rangle &ba\langle a^{2}\rangle \\\hline \vert G\vert /\vert K\vert :&4m&2m&2m&...&2m&4m&4&4\\\hline \vert \ K\vert :&1&2&2&...&2&1&m&m\\\hline \end{array}}}$

Dans le cas m pair, les quatre premières lignes de la table proprement dite sont (voir point a)

${\displaystyle {\begin{array}{r|rrrrrrrr}\chi _{1}&1&1&1&...&1&1&1&1\\\chi _{2}&1&1&1&...&1&1&-1&-1\\\chi _{3}&1&-1&1&...&-1&1&1&-1\\\chi _{4}&1&-1&1&...&-1&1&-1&1\\\end{array}}}$

Dans le cas m impair, ces quatre lignes deviennent

${\displaystyle {\begin{array}{r|rrrrrrrr}\chi '_{1}&1&1&1&...&1&1&1&1\\\chi '_{2}&1&-1&1&...&1&-1&i&-i\\\chi '_{3}&1&1&1&...&1&1&-1&-1\\\chi '_{4}&1&-1&1&...&1&-1&-i&i\\\end{array}}}$

Les lignes suivantes sont, dans le cas m pair comme dans le cas m impair (et ${\displaystyle \zeta }$ étant défini comme au point b)

${\displaystyle {\begin{array}{r|cccccccc}\psi _{1}=\chi _{5}&2&\zeta ^{1}+\zeta ^{-1}&\zeta ^{2}+\zeta ^{-2}&...&\zeta ^{m-1}+\zeta ^{1-m}&\zeta ^{m}+\zeta ^{-m}&0&0\\\psi _{2}=\chi _{6}&2&\zeta ^{2}+\zeta ^{-2}&\zeta ^{4}+\zeta ^{-4}&...&\zeta ^{2m-2}+\zeta ^{2-2m}&\zeta ^{2m}+\zeta ^{-2m}&0&0\\...&...&...&...&...&...&...&...&...\\\psi _{m-1}=\chi _{m+3}&2&\zeta ^{m-1}+\zeta ^{1-m}&\zeta ^{2m-2}+\zeta ^{2-2m}&...&\zeta ^{(m-1)^{2}}+\zeta ^{-(m-1)^{2}}&\zeta ^{m(m-1)}+\zeta ^{-m(m-1)}&0&0\\\end{array}}}$

En faisant m = 2 dans le point e) (cas m pair), on obtient la table des caractères du groupe des quaternions :

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}K\ :&\{1\}&\{a,a^{3}\}&\{a^{2}\}&\{b,ba^{2}\}&\{ba,ba^{3}\}\\\hline \vert G\vert /\vert K\vert :&8&4&8&4&4\\\hline \vert \ K\vert :&1&2&1&2&2\\\hline \chi _{1}&1&1&1&1&1\\\chi _{2}&1&1&1&-1&-1\\\chi _{3}&1&-1&1&1&-1\\\chi _{4}&1&-1&1&-1&1\\\chi _{5}&2&0&-2&0&0\\\end{array}}}$

En comparant avec la table des caractères de D₈ qui a été trouvée dans le chapitre théorique, on voit que le groupe des quaternions et le groupe diédral d'ordre 8 ont la même table de caractères. On a démontré au chapitre Groupes dicycliques que ces deux groupes ne sont pas isomorphes, ce qui achève de prouver l'énoncé.