a

On va intégrer ${\displaystyle I}$ par parties de deux façons.

On choisit d'abord de poser sur l'intervalle ${\displaystyle [0,\pi ]}$ les fonctions ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ telles que :

• ${\displaystyle u':=\exp }$, de primitive (par exemple) ${\displaystyle u:=\exp }$ ;
• ${\displaystyle v:=\sin }$, de dérivée ${\displaystyle v'=\cos }$.

Les fonctions ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ sont bien dérivables à dérivée continue sur l'intervalle ${\displaystyle [0,\pi ]}$. On peut donc appliquer la formule d'intégration par parties :

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{0}^{\pi }u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x\\&=[uv]_{0}^{\pi }-\int _{0}^{\pi }u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x\\&=u(\pi )\times 0-u(0)\times 0-\int _{0}^{\pi }\operatorname {e} ^{x}\cos x\,\mathrm {d} x\\&=-J.\end{aligned}}}$

Point à ne pas omettre avant le calcul

Dans cette démonstration, le point-clé est l’application de la formule d'intégration par parties. Il faut bien expliciter l'hypothèse-phare de ce théorème avant de dérouler les calculs, à savoir :

Les fonctions ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ doivent être dérivables à dérivée continue sur l'intervalle d'intégration.

De même, en posant :

• ${\displaystyle u':=\sin }$, de primitive (par exemple) ${\displaystyle u:=-\cos }$ ;
• ${\displaystyle v:=\exp }$, de dérivée ${\displaystyle v'=\exp }$,

on obtient :

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=-\cos \pi \times \operatorname {e} ^{\pi }-(-\cos 0)\times \operatorname {e} ^{0}-\int _{0}^{\pi }\operatorname {e} ^{x}(-\cos x)\,\mathrm {d} x\\&=\operatorname {e} ^{\pi }+1+J.\end{aligned}}}$

b

${\displaystyle -J=I=\operatorname {e} ^{\pi }+1+J}$ donc ${\displaystyle J=-{\frac {e^{\pi }+1}{2}}}$ et ${\displaystyle I={\frac {e^{\pi }+1}{2}}}$.

Question 1

Soient ${\displaystyle u,v:\left]-1,+\infty \right[\to \mathbb {R} }$ définies par

${\displaystyle v(x)=1+x}$ et ${\displaystyle u=\ln v}$.

Alors (pour tout ${\displaystyle x>-1}$)

${\displaystyle v'(x)=1}$ et ${\displaystyle u'(x)={\frac {v'(x)}{v(x)}}={\frac {1}{1+x}}}$ donc

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=1-{\frac {{\frac {1}{1+x}}(1+x)-\ln(1+x)}{(1+x)^{2}}}\\&={\frac {(1+x)^{2}-1+\ln(1+x)}{(1+x)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Question 2

• ${\displaystyle x\mapsto (1+x)^{2}}$ est strictement croissante sur ${\displaystyle \left]-1,+\infty \right[}$ ;
• ${\displaystyle x\mapsto \ln(1+x)}$ est strictement croissante sur ${\displaystyle \left]-1,+\infty \right[}$ ;
• La somme de deux fonctions strictement croissantes est strictement croissante.

Donc ${\displaystyle N}$ est strictement croissante sur ${\displaystyle \left]-1,+\infty \right[}$.

${\displaystyle N(0)=1^{2}-1+\ln(1)=0}$.

Par conséquent, ${\displaystyle N}$ est strictement négative sur ${\displaystyle \left]-1,0\right[}$ et strictement positive sur ${\displaystyle \left]0,+\infty \right[}$. Puisque ${\displaystyle f'(x)={\frac {N(x)}{(1+x)^{2}}}}$ est du même signe, on en déduit le tableaux de variations suivant pour ${\displaystyle f}$ :

${\displaystyle {\begin{array}{c||cccccc|}x&-1&&&0&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}f'(x)&\|&&-&0&+&\\\hline &\|&+\infty &&&&+\infty \\f(x)&\|&&\searrow &&\nearrow &\\&\|&&&0&&&\\\hline \end{array}}}$

Question 3

Soit ${\displaystyle x\in \left]-1,+\infty \right[}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=x&\Leftrightarrow x-{\frac {\ln(1+x)}{1+x}}=x\\&\Leftrightarrow {\frac {\ln(1+x)}{1+x}}=0\\&\Leftrightarrow \ln(1+x)=0\\&\Leftrightarrow 1+x=1\\&\Leftrightarrow x=0.\end{aligned}}}$

L'unique point d'intersection de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ est donc l'origine du repère : ${\displaystyle O(0,0)}$.

Question 1

${\displaystyle f}$ est croissante sur ${\displaystyle \left[0,+\infty \right[}$ donc

${\displaystyle 0\leq x\leq 4\Rightarrow f(0)\leq f(x)\leq f(4)\Rightarrow 0\leq f(x)\leq 4-{\frac {\ln 5}{5}}\Rightarrow 0\leq f(x)<4}$.

Question 2

a