Avant de regarder les solutions suivantes, il faut connaître la formule suivante, si S est une série numérique, alors sa somme peut se simplifier :

${\displaystyle S:\sum _{k=p}^{q}a^{k}={\frac {a^{p}-a^{q+1}}{1-a}}}$

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{100}a^{k}={\frac {1-a^{101}}{1-a}}}$

${\displaystyle B=\sum _{k=0}^{100}(a^{2})^{k}={\frac {1-(a^{2})^{101}}{1-a^{2}}}={\frac {1-a^{202}}{1-a^{2}}}}$

${\displaystyle C=a{\frac {1-a^{100}}{1-a}}}$

${\displaystyle D={\frac {a^{5}-a^{101}}{1-a}}=a^{5}{\frac {1-a^{96}}{1-a}}}$

Pour mieux comprendre comment calculer cette série, il n’est pas inutile d'écrire les premiers termes. Ici c’est ${\displaystyle 1+a^{2}+a^{4}+\cdots +a^{100}}$

Les k sont donc pairs ⇔ k = 2n avec n entre 0 et 50. ${\displaystyle E'=\sum _{0\leq 2n\leq 50}a^{2n}=\sum _{n=0}^{50}a^{2n}={\frac {1-(a^{2})^{51}}{1-a^{2}}}={\frac {1-a^{102}}{1-a^{2}}}}$

${\displaystyle F=\sum _{k=1}^{100}a^{3k}a^{2}=a^{2}\sum _{k=1}^{100}(a^{3})^{k}=a^{2}{\frac {a^{3}-a^{303}}{1-a^{3}}}}$

${\displaystyle G=\sum _{k=1}^{100}a^{3k}+2\sum _{k=1}^{100}1={\frac {a^{3}-a^{303}}{1-a^{3}}}+2\times (100-1+1)}$

${\displaystyle H=\sum _{k=m}^{n}a^{pk+q}=a^{q}\sum _{k=m}^{n}a^{pk}=a^{q}({\frac {a^{pm}-a^{p(n+1)}}{1-a^{p}}})}$.

Cf. Somme des termes d'une suite arithmétique :

${\displaystyle I={\frac {n-m+1}{2}}(an+b+am+b)=a{\frac {(n+m)(n-m+1)}{2}}+b(n-m+1)}$.

${\displaystyle J=\sum _{m\leq 2j+1\leq n}a^{p(2j+1)+q}=a^{p+q}\sum _{{\frac {m-1}{2}}\leq j\leq {\frac {n-1}{2}}}a^{2pj}=a^{p+q}\sum _{j=M}^{N}a^{2pj}=a^{p+q}{\frac {a^{2pM}-a^{2p(N+1)}}{1-a^{2p}}}}$

avec

${\displaystyle 2pM={\begin{cases}2p{\frac {m-1}{2}}=p(m-1)&{\text{si }}m{\text{ est impair}}\\2p{\frac {m}{2}}=pm&{\text{si }}m{\text{ est pair}}\end{cases}}}$

${\displaystyle 2p(N+1)={\begin{cases}2p\left({\frac {n-1}{2}}+1\right)=p(n+1)&{\text{si }}n{\text{ est impair}}\\2p\left({\frac {n-2}{2}}+1\right)=pn&{\text{si }}n{\text{ est pair.}}\end{cases}}}$