Série de Fourier/Théorèmes fondamentaux

Les séries de Fourier sont l'objet de deux théorèmes fondamentaux : le théorème de Parseval et celui de Jordan-Dirichlet.

Théorème de Parseval

Lemme — Inégalité de Bessel

Soit $f\in CM_{2\pi }$ . Alors :

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{|c_{n}|^{2}}\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{f(x)^{2}\,\mathrm {d} x}

.

Théorème — égalité de Parseval

Si $f$ est de plus de carré intégrable, alors l'inégalité devient une égalité :

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{|c_{n}|^{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{f(x)^{2}\,\mathrm {d} x}

.

Remarque: $\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{|c_{n}|^{2}}={\frac {a_{0}^{2}}{4}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({a_{k}}^{2}+{b_{k}}^{2}\right)$ .

Théorème de Jordan-Dirichlet

Théorème

Soit $f\in C^{1}M_{2\pi }$ . Alors sa série de Fourier converge ponctuellement vers sa normalisée :

\forall x\in \mathbb {R} \quad \lim _{n\to \infty }{S_{n}(f)}(x)={\frac {f_{+}(x)+f_{-}(x)}{2}}

.

Applications

Ces deux théorèmes sont fréquemment utilisés pour calculer des sommes infinies qu'on ne pourrait pas calculer avec la théorie des séries entières ou des séries numériques.

Voir à ce propos la leçon : « Sommation ».

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