Série de Fourier/Introduction

Séries trigonométriques

Premières définitions

Définition

On appelle série trigonométrique toute série de fonctions $\sum u_{n}$ du type :

u_{0}=c_{0}

\forall n\in \mathbb {N} ^{*},u_{n}:x\mapsto c_{n}e^{inx}+c_{-n}e^{-inx}

de somme partielle $S_{n}:x\mapsto \sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx}$ .

Les coefficients $c_{k}$ sont appelés coefficients complexes de Fourier.

Une série trigonométrique du type

f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{inx}

s'écrit aussi :

f(x)=c_{0}+\sum _{n\geq 1}(c_{n}+c_{-n})\cos(nx)+i(c_{n}-c_{-n})\sin(nx).

On pose alors $a_{n}=c_{n}+c_{-n}$ et $b_{n}=i(c_{n}-c_{-n})$ , de sorte que :

f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n\geq 1}a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx).

On obtient alors les formules d'inversion suivantes :

c_{0}={\frac {a_{0}}{2}}\quad {\text{et}}\quad \forall n>0\quad c_{n}={\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}},\quad c_{-n}={\frac {a_{n}+ib_{n}}{2}}

.

Propriétés des séries trigonométriques

Théorème

Soit $f(x)=c_{0}+\sum _{n\geq 1}c_{n}e^{inx}+c_{-n}e^{-inx}$ une série trigonométrique. Son ensemble de convergence ${\mathcal {D}}$ est invariant par translation de $2\pi$ .

Théorème

La somme d'une série trigonométrique est $2\pi$ -périodique sur son ensemble de convergence ${\mathcal {D}}$ .

Théorème

Si les séries $\sum c_{n}$ et $\sum c_{-n}$ sont absolument convergentes, alors la série trigonométrique associée converge normalement sur $\mathbb {R}$ auquel cas la somme S est définie continue et $2\pi$ -périodique sur $\mathbb {R}$ .

Remarque. Si on remplace $x$ par ${\frac {2\pi }{T}}x$ , on obtient une fonction de période T. C’est pourquoi les séries trigonométriques ont été utilisées par Euler, Fourier... pour la représentation des fonctions périodiques.

Calcul des coefficients complexes

Proposition

Les coefficients complexes de Fourier sont donnés par :

$c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)e^{-inx}\,\mathrm {d} x$ .

Démonstration

Nous nous plaçons dans le cas où la série converge uniformément sur $\mathbb {R}$ (ce qui a lieu, à cause de la périodicité, si elle converge sur un intervalle ${\displaystyle \;[\alpha$ ).

Rappelons que

$f(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{ikx}$

Multiplions les deux membres de l'équation par $e^{-inx}$ puis en intégrons sur $\;[\alpha ,\alpha +2\pi ]$ :

$\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)e^{-inx}\,\mathrm {d} x\;=\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }[\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{ikx}e^{-inx}]\,\mathrm {d} x\;=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }e^{i(k-n)x}\,\mathrm {d} x$ .

Or

$\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }e^{i(k-n)x}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}0\;{\text{si}}\;k\neq n\\2\pi \;{\text{si}}\;k=n.\end{cases}}$

Par conséquent :

$\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)e^{-inx}\,\mathrm {d} x\;=2\pi c_{n}$ .

Calcul des coefficients réels — Formule d’Euler-Fourier

Formules d’Euler-Fourier

a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)\cos(nx)\,\mathrm {d} x\;(n\geq 0)

b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)\sin(nx)\,\mathrm {d} x\;(n>0)

Démonstration

${\begin{aligned}a_{n}&=c_{n}+c_{-n}\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)e^{-inx}\,\mathrm {d} x+{\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)e^{inx}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x){\frac {e^{-inx}+e^{inx}}{2}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)\cos(nx)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}$

${\begin{aligned}b_{n}&=ic_{n}-ic_{-n}\\&={\frac {-c_{n}}{i}}+{\frac {c_{-n}}{i}}\\&={\frac {-1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)e^{-inx}\,\mathrm {d} x+{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)e^{inx}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x){\frac {-e^{-inx}+e^{inx}}{2i}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)\sin(nx)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}$

Proposition

$f$ est paire si et seulement si $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\;b_{n}=0$ .
$f$ est impaire si et seulement si $\forall n\in \mathbb {N} \;a_{n}=0$ .

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