Nous partons d’une fonction réelle ou complexe ${\displaystyle f}$ de période ${\displaystyle T>0}$, définie sur un intervalle de longueur ${\displaystyle T}$, par exemple ${\displaystyle [0;T]}$ ; nous supposons que les formules d’Euler-Fourier lui sont applicables, et nous associons à ${\displaystyle f}$ la série trigonométrique qui possède les coefficients ainsi calculés. On dit que cette série est la série de Fourier de ${\displaystyle f}$.

Le problème qui se pose est double : étudier la convergence de la série de Fourier ainsi associée à ${\displaystyle f}$ ; si cette série converge, chercher si elle représente la fonction ${\displaystyle f}$.

Propriétés des coefficients de Fourier de ${\displaystyle f}$

À la fonction ${\displaystyle f}$, réelle ou complexe, intégrable sur ${\displaystyle [0;T]}$, nous associons les deux suites de coefficients :

Coefficients de Fourier de ${\displaystyle f\,{\begin{cases}a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(x)\cos \left({\frac {2\pi n}{T}}x\right)dx\;(n\geq 0)\\b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(x)\sin \left({\frac {2\pi n}{T}}x\right)dx\;(n>0)\end{cases}}}$

Théorème 1

Si f est intégrable sur [0 ; T], ${\displaystyle a_{n}}$ et ${\displaystyle b_{n}}$ tendent vers 0 quand n ${\displaystyle \rightarrow +\infty }$.

Théorème 2

Si f admet sur [0 ; T] une dérivée première continue, et si ${\displaystyle f(0)=f(T)}$, ${\displaystyle na_{n}}$ et ${\displaystyle nb_{n}}$ tendent vers 0.

Théorème 3

Si f est continûment dérivable sur [0 ; T] jusqu'à l’ordre k, et si chacune des fonctions ${\displaystyle f,f',\ldots ,f^{(k-1)}}$ prend les mêmes valeurs en 0 et T, alors ${\displaystyle n^{k}a_{n}}$ et ${\displaystyle n^{k}b_{n}}$ tendent vers 0.

Théorème 4

Si f est réelle, bornée et monotone par morceaux sur [0 ; T] , les suites ${\displaystyle (na_{n})}$ et ${\displaystyle (nb_{n})}$ sont bornées.

Théorème 5

Si f est intégrable sur [0 ; T], la série ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n}}}$ converge.