1. L'application ${\displaystyle f}$ est continue par morceaux et ${\displaystyle \pi }$-périodique : ses coefficients de Fourier existent.

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction ${\displaystyle T}$-périodique, ses coefficients de Fourier réels sont définis de la manière suivante :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}(f)={\frac {2}{T}}\int _{[T]}f(t)\cos {\tfrac {2\pi nt}{T}}\,\mathrm {d} t}$ ;

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad b_{n}(f)={\frac {2}{T}}\int _{[T]}f(t)\sin {\tfrac {2\pi nt}{T}}\,\mathrm {d} t}$.

Comme ${\displaystyle f}$ est paire, ${\displaystyle b_{n}(f)=0}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}(f)&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }f(t)\cos(2nt)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin t\cos(2nt)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin((2n+1)t)-\sin((2n-1)t)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {\cos((2n+1)t)}{2n+1}}+{\frac {\cos((2n-1)t)}{2n-1}}\right]_{0}^{\pi }\\&={\frac {1}{\pi }}\left({\frac {2}{2n+1}}-{\frac {2}{2n-1}}\right)\\&=-{\frac {4}{\pi (4n^{2}-1)}}.\end{aligned}}}$

2. ${\displaystyle f}$ est de classe ${\displaystyle C^{1}}$ par morceaux et ${\displaystyle \pi }$ -périodique. D’après le théorème de Dirichlet, sa série de Fourier converge normalement vers ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall t\in \mathbb {R} \quad \left|\sin t\right|&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(2nt)+b_{n}\sin(2nt))\\&={\frac {2}{\pi }}-{\frac {4}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(2nt)}{4n^{2}-1}}\\&={\frac {2}{\pi }}-{\frac {4}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2\sin ^{2}(nt)}{4n^{2}-1}}\\&={\frac {8}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(nt)}{4n^{2}-1}}.\end{aligned}}}$