Série de Fourier/Exercices/Étude de fonction

Soit la fonction f de $\mathbb {R}$ vers $\mathbb {R}$ définie comme suit :

${\begin{cases}f{\mbox{ est paire }}\\f{\mbox{ est périodique et a pour période }}2\pi \\f(t)=1-\sin {t}{\mbox{ si }}0\leq t\leq \pi \end{cases}}$

1. Représenter graphiquement f sur l'intervalle $\left[-2\pi ;2\pi \right]$ . Le plan sera muni d'un repère orthogonal : 2 cm en abscisse et 5 cm en ordonnées).

On se propose de calculer les coefficients $a_{n}$ et $b_{n}$ du développement en série de Fourier de la fonction f

2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : $b_{n}=0$

3. Calculer $a_{0}$

4. Calculer $a_{1}$

5. Calculer $a_{n}$ en fonction de n pour $n\geq 2$ . En déduire $a_{2p}={\frac {4}{\pi \left(4p^{2}-1\right)}}$ et $a_{2p+1}=0$

6. Écrire un développement en série de Fourier de la fonction f

Solution

À faire.
$\forall n,b_{n}=0$ car f est paire.
$a_{0}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }(1-\sin(t))dt={\frac {2\pi }{\pi }}-{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(t)dt=2-{\frac {4}{\pi }}$
$a_{1}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }(1-\sin(t))\cos(t)dt={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(t)dt-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(2t)dt={\frac {2}{\pi }}\times 0-0=0$
On a :
${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }(1-\sin(t))\cos(nt)dt\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(nt)dt-{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(t)\cos(nt)dt\\&=0-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin((n+1)t)dt+{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin((n-1)t)dt\\&={\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {1-(-1)^{n-1}}{n-1}}-{\frac {1-(-1)^{n+1}}{n+1}}\right]\end{aligned}}$
car $\cos(k\pi )=(-1)^{k}$ .
Donc $a_{n}={\frac {1+(-1)^{n}}{\pi }}{\frac {2}{n^{2}-1}}$ .
Le numérateur s'annule pour n impair, et vaut 4 pour n pair, d'où la formule souhaitée.
Connaissant les valeurs de tous les coefficients de Fourier trigonométriques, on écrit :

\forall x\in \mathbb {R} ,f(x)=1-{\frac {2}{\pi }}+{\frac {4}{\pi }}\sum _{p=1}^{+\infty }{\frac {\cos(2px)}{4p^{2}-1}}

Soit la fonction g définie sur $\mathbb {R}$ par : $g(t)=1-{\frac {2}{\pi }}+{\frac {4}{3\pi }}\cos {2t}+{\frac {4}{15\pi }}\cos {4t}$

7. Démontrer que g est paire, qu'elle est périodique et admet pour période $\pi$

On étudie g sur l'intervalle $\left[0;{\frac {\pi }{2}}\right]$

8. Calculer g'(t) et démontrer que l’on a $g'(t)={\frac {-8}{3\pi }}\left(\sin {2t}\right)\left(1+{\frac {4}{5}}\cos {2t}\right)$ .

9. En déduire le sens de variation de g sur l'intervalle $\left[0;{\frac {\pi }{2}}\right]$

10. Sur le graphique de la question 1 dessiner la courbe représentative de g sur $\left[0;{\frac {\pi }{2}}\right]$ . On placera les tangentes à cette courbe aux points d'abscisses 0 et ${\frac {\pi }{2}}$

Solution

7. La parité et la périodicité de g sont évidentes, parce que la fonction cosinus est paire et périodique. Un simple calcul montre que $g(x+\pi )=g(x)$

8. $g'(t)=-{\frac {8}{3\pi }}\sin(2t)-{\frac {16}{15\pi }}\sin(4t)$

Pour factoriser, il suffit de remarquer que $\sin(4t)=2\cos(2t)\sin(2t)$

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