Soit ${\displaystyle \varphi \in \mathrm {L} (E)}$. Un sous-espace ${\displaystyle F}$ de ${\displaystyle E}$ est dit stable par ${\displaystyle \varphi }$ si ${\displaystyle \varphi (F)\subset F}$ , c'est-à-dire :

${\displaystyle \forall x\in F\quad \varphi (x)\in F}$.

Si ${\displaystyle E}$ est muni d'une base « adaptée à ${\displaystyle F}$ » (c'est-à-dire une base de ${\displaystyle F}$ complétée en une base de ${\displaystyle E}$), la matrice représentative de ${\displaystyle \varphi }$ peut être notée par blocs

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$.

Alors, ${\displaystyle F}$ est stable par ${\displaystyle \varphi }$ si et seulement si ${\displaystyle C=0}$, et dans ce cas la matrice de l'endomorphisme induit sur ${\displaystyle F}$ est ${\displaystyle A}$.

Si deux endomorphismes ${\displaystyle \varphi _{1}}$ et ${\displaystyle \varphi _{2}}$ commutent, alors le noyau et l'image de l'un sont stables par l'autre.