${\displaystyle \exp \left(A\right)}$ est une matrice de rotation. En effet :

• ${\displaystyle \left(\exp A\right)^{t}=\exp \left(A^{t}\right)=\exp \left(-A\right)=\left(\exp A\right)^{-1}}$ ;
• ${\displaystyle \det \left(\exp A\right)=\exp \left(\operatorname {tr} A\right)=\exp(0)=1}$.

Inspiré de « All and the only algebraically closed fields s.t. any regular n-by-n matrix has a k-th root for every k », sur MathOverflow.

a)  Dans ${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(K)}$, toute matrice ${\displaystyle A}$ est trigonalisable donc ${\displaystyle A^{p}}$ est — contrairement à ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$ — diagonalisable même si ${\displaystyle A}$ ne l'est pas, car ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}^{p}={\begin{pmatrix}a^{p}&0\\0&a^{p}\end{pmatrix}}}$.

b)  Sans perte de généralité, on peut supposer que ${\displaystyle B}$ n'a qu'une valeur propre et qu'elle est égale à ${\displaystyle 1}$ donc ${\displaystyle B=I_{n}-N}$ avec ${\displaystyle N^{n}=0}$. Posons ${\displaystyle C:=-N-{\frac {N^{2}}{2}}-{\frac {N^{3}}{3}}-\dots -{\frac {N^{n-1}}{n-1}}}$ (c'est le développement en série formelle de ${\displaystyle \ln(1-x)}$, appliqué à ${\displaystyle N}$), puis ${\displaystyle A:=\sum _{0\leq j<n}{\frac {C^{j}}{k^{j}j!}}}$ (c'est le développement en série formelle de ${\displaystyle \exp }$ appliqué à ${\displaystyle {\frac {C}{k}}}$). Alors, ${\displaystyle A^{k}=\sum _{0\leq j<n}{\frac {C^{j}}{j!}}=I_{n}-N=B}$.