Réduction des endomorphismes/Diagonalisabilité

Définition

Soit $\varphi \in {\mathcal {L}}(E)$ .

Définition : endomorphisme diagonalisable - diagonalisation

$\varphi$ est dit diagonalisable s'il existe une base de $E$ constituée de vecteurs propres pour $\varphi$ .

En dimension finie, cela équivaut à dire qu’il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $\varphi$ est diagonale.

Diagonaliser $\varphi$ , c’est déterminer une base de vecteurs propres pour $\varphi$ .

En effet, si ${\underline {f}}=(f_{1},\cdots ,f_{n})$ est une base de vecteurs propres, alors en notant $\lambda _{i}$ la valeur propre correspondant au vecteur propre $f_{i}$ (les $\lambda _{i}$ ne sont pas nécessairement deux à deux distincts), on obtient que la matrice de $\varphi$ dans la base ${\underline {f}}$ est :

M_{\varphi }({\underline {f}})={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&&&&&\\&\lambda _{2}&&&(0)&\\&&\ddots &&&\\&&&\ddots &&\\&(0)&&&\lambda _{n-1}&\\&&&&&\lambda _{n}\\\end{pmatrix}}

Théorème de diagonalisation

On suppose $E$ de dimension $n\in \mathbb {N} ^{*}$ finie et l'on note $p=\mathrm {card} (\mathrm {Sp} (\varphi ))$ le nombre de valeurs propres de $\varphi$ .

Théorème de diagonalisation

Les assertions suivantes sont équivalentes :

$\varphi \in {\mathcal {L}}(E)$ est diagonalisable ;
$E=\bigoplus _{i=1}^{p}E_{\lambda _{i}}(\varphi )$ ;
$n=\sum _{i=1}^{p}\dim E_{\lambda _{i}}(\varphi )$ ;
le polynôme caractéristique est scindé et pour tout $i\in [\![1,p]\!]$ , la dimension de $E_{\lambda _{i}}(\varphi )$ est égale à la multiplicité de $\lambda _{i}$ comme racine du polynôme caractéristique ;
il existe un polynôme scindé et à racines simples qui annule $\varphi$ ;
le polynôme minimal de $\varphi$ est scindé et à racines simples.

Démonstration

$(1\Leftrightarrow 2)$ Comme $\varphi \in {\mathcal {L}}(E)$ est diagonalisable, il existe une base de vecteurs propres de $\varphi$ . En l'ordonnant dans l’ordre des $\lambda _{i}$ , on obtient que les $E_{\lambda _{i}}(\varphi )$ sont bien supplémentaires. Réciproquement, si les $E_{\lambda _{i}}(\varphi )$ sont supplémentaires, alors la réunion "ordonnée" des bases des sous-espaces propres donne bien une base de diagonalisation.
$(2\Rightarrow 3)$ Cela découle des propriétés de la somme directe.
$(3\Rightarrow 2)$ On remarque que $E_{\lambda _{i}}(\varphi )=\mathrm {Ker} (\varphi -\lambda _{i}\mathrm {Id} _{E})$ et, comme les $\lambda _{i}$ sont deux à deux distincts, les polynômes $(X-\lambda _{i})$ sont deux à deux premiers entre eux, donc le Lemme des noyaux nous assure que les $E_{\lambda _{i}}(\varphi )$ sont en somme directe. Comme, par hypothèse, la somme de leurs dimensions vaut $n=\dim E$ , on en déduit qu’ils sont supplémentaires.
$(3\Rightarrow 4)$ Remarquons d’abord que, comme on vient de démontrer que $(1)$ équivaut à $(3)$ , on sait donc que $\varphi$ est diagonalisable et il existe donc une base dans laquelle sa matrice est diagonale. En calculant le polynôme caractéristique de cette matrice, on obtient le résultat voulu.
$(4\Rightarrow 3)$ La somme des multiplicités vaut $n$ , car c’est le degré du polynôme caractéristique.
$(2\Leftrightarrow 5)$ Cela découle du lemme des noyaux : $E=\mathrm {Ker} \;0=\bigoplus _{i=1}^{p}E_{\lambda _{i}}(\varphi )=\mathrm {Ker} \left(\prod _{i=1}^{n}(\varphi -\lambda _{i}\mathrm {Id} _{E})\right)$ , ce qui montre que $\prod _{i=1}^{n}(X-\lambda _{i})$ annule $\varphi$ .
$(5\Rightarrow 6)$ S'il existe un polynôme $P$ scindé et à racines simples qui annule $\varphi$ , alors le polynôme minimal de $\varphi$ , puisqu'il divise $P$ , est aussi scindé et à racines simples.
$(6\Rightarrow 5)$ Évident : le polynôme minimal est une réponse à la question d'existence de $(5)$ .

Interprétation matricielle

Définition : Matrice diagonalisable - Diagonalisation

$A\in \mathrm {M} _{n}(K)$ est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire si :

$\exists P\in \mathrm {GL} _{n}(K)\quad \exists D=\mathrm {diag} (\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n})\in \mathrm {M} _{n}(K)\quad A=PDP^{-1}$ .

Diagonaliser une matrice $A$ , c’est déterminer des matrices $P$ et $D$ vérifiant l'égalité ci-dessus.

Contre-exemple: Si $A\in \mathrm {M} _{n}(K)$ n'a qu'une valeur propre $\lambda$ , d'ordre n — en particulier, si A est triangulaire et si ses éléments diagonaux sont tous égaux à $\lambda$ — mais n’est pas diagonale, alors elle n’est même pas diagonalisable.; En effet, la seule matrice diagonale ayant $\lambda$ comme valeur propre d'ordre n est $\lambda \mathrm {I} _{n}$ , et $P\lambda \mathrm {I} _{n}P^{-1}=\lambda \mathrm {I} _{n}$ .

Théorème de diagonalisation

Les assertions suivantes sont équivalentes :

$A\in \mathrm {M} _{n}(K)$ est diagonalisable ;
$K^{n}=\bigoplus _{i=1}^{p}E_{\lambda _{i}}(A)$ ;
$n=\sum _{i=1}^{p}\dim E_{\lambda _{i}}(A)$ ;
le polynôme caractéristique est scindé et pour tout $i\in [\![1,p]\!]$ , la dimension de $E_{\lambda _{i}}(A)$ est égale à la multiplicité de $\lambda _{i}$ comme racine du polynôme caractéristique ;
il existe un polynôme scindé à racines simples qui annule $A$ ;
Le polynôme minimal de $A$ est scindé et à racines simples.

Il faut enfin faire le lien entre les deux points de vue (matrice et endomorphisme) :

Propriété

Un endomorphisme est diagonalisable si, et seulement si, sa matrice dans une base quelconque de $E$ est diagonalisable.

En effet, si $A=M_{\varphi }({\underline {e}})$ alors, en notant ${\underline {f}}$ une base de vecteurs propres pour $\varphi$ , la formule de changement de base donne :

$M_{\varphi }({\underline {e}})=P({\underline {e}},{\underline {f}})M_{\varphi }({\underline {f}})P({\underline {f}},{\underline {e}})$ et donc $P=P({\underline {e}},{\underline {f}})$ et $D=M_{\varphi }({\underline {f}})$ .

Méthode pratique de diagonalisation

En pratique, si l’on cherche à diagonaliser $A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {R} )$ :

on calcule le polynôme caractéristique $p_{A}(t)=\det(A-tI_{n})$ (ou,dans des situations plus théoriques, le polynôme minimal)de $A$ en cherchant à le factoriser le plus possible (car on cherche ses racines, qui sont les valeurs propres de $A$ );
pour chaque valeur propre $\lambda$ , on détermine le sous-espace propre $E_{\lambda }(A)=\mathrm {Ker} (A-\lambda I_{n})$ (ou, si l’on préfère, on résout le système $(A-\lambda I_{n})X=0$ ) et on obtient une base de $E_{\lambda }(A)$ , c'est-à-dire une base de vecteurs propres pour la valeur propre $\lambda$ ;
si le polynôme caractéristique est scindé, et que pour toutes les valeurs propres $\lambda$ , $\dim E_{\lambda }(A)$ est égale à la multiplicité de $\lambda$ dans le polynôme caractéristique $p_{A}$ , alors $A$ est diagonalisable et on a $D=\mathrm {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ (les valeurs propres sont mises chacune $\dim E_{\lambda }(A)$ fois) et $P$ est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres rangés dans le même ordre que l’ordre des valeurs propres dans la matrice $D$ . On a alors $A=PDP^{-1}\iff D=P^{-1}AP$ .

Exemple :Soit $A={\begin{bmatrix}0&3&-1\\2&-1&1\\0&0&2\end{bmatrix}}\in \mathbb {M} _{3}(\mathbb {R} )$
$p_{A}(X)=\operatorname {det} (A-XI_{3})={\begin{vmatrix}-X&3&-1\\2&-1-X&1\\0&0&2-X\end{vmatrix}}=-(2-X)^{2}(3+X)$
Donc les valeurs propres sont :

2 de multiplicité 2
-3 de multiplicité 1

Calcul des sous-espaces propres :
Calcul de $E_{2}(A)$ : On cherche les $X={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}$ tels que :
$(A-2I_{3})X=0\,$
$\Leftrightarrow {\begin{bmatrix}-2&3&-1\\2&-3&1\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}=0\Leftrightarrow -2x_{1}+3x_{2}-x_{3}=0$
Donc $E_{2}(A)=\operatorname {Vect} \left\{{\begin{bmatrix}0\\1\\3\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\\-2\end{bmatrix}}\right\}$
On procède de même pour $E_{-3}(A)$ et on obtient :
$E_{-3}(A)=\operatorname {Vect} \left\{{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}}\right\}$
On a bien : $\operatorname {dim} (E_{2}(A))=2$ et $\operatorname {dim} (E_{-3}(A))=1$ , donc cette matrice est diagonalisable.
Une diagonalisation possible est : $D=P^{-1}AP={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&{-3}\end{bmatrix}}$ , avec $P={\begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&-1\\3&-2&0\end{bmatrix}}$

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