On probabilise un univers fini ${\displaystyle \Omega }$ en attribuant à chaque éventualité

un nombre positif de telle manière que :

• Ce nombre soit compris entre 0 et 1 (comme une fréquence).
• La somme de ces nombres soit 1 (comme la somme des fréquences).

Dans un lancer de dé équilibré, tous les numéros ont la même probabilité d'apparaitre, les probabilités ${\displaystyle p_{i}}$ sont alors toutes égales à ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$.

Mais dans un lancer de dé pipé (déséquilibré), les probabilités ${\displaystyle p_{i}}$ d'apparition des numéros ne sont pas toutes égales.

La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.

${\displaystyle p(A)=\sum _{\omega _{i}\in A}p_{i}}$

Lors du lancer d'un dé équilibré à six faces, calculer la probabilité d'obtenir un résultat inférieur ou égal à 2.

${\displaystyle p({\overline {A}})=1-p(A)}$.

Dans un lancer de dé équilibré, notons A l'événement « obtenir un 6 ».

Alors ${\displaystyle {\overline {A}}}$ est l'événement : « obtenir un résultat autre que 6 ». Sa probabilité est donc :

${\displaystyle p({\overline {A}})=1-p(A)=1-{\frac {1}{6}}={\frac {5}{6}}}$.

Si A et B sont deux événements incompatibles (d'intersection vide), alors

${\displaystyle p(A\cup B)=p(A)+p(B)}$.

Dans un lancer de dé équilibré, les deux événements :

• A : « obtenir 6 » et
• B : « obtenir un résultat inférieur ou égal à 2 »

sont incompatibles, puisqu’ils ne peuvent pas être réalisés en même temps.

On a donc :

${\displaystyle p(A\cup B)=p(A)+p(B)={\frac {1}{6}}+{\frac {2}{6}}={\frac {1}{2}}}$.

Dans ce cas, les événements appartenant à l'intersection ont été comptés deux fois, d'où la formule :

${\displaystyle p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)}$.

Dans un lancer de dé équilibré, si l'on note :

• A l'événement « obtenir un multiple de 3 » et
• B l'événement « obtenir un résultat strictement supérieur à 3 »,

on a :

${\displaystyle p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)={\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}-{\frac {1}{6}}={\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}}$.

Il y a équiprobabilité dans une expérience aléatoire

quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité (équiprobables).

Le lancer de dé équilibré montre une situation d'équiprobabilité, alors que le lancer de dé pipé montre au contraire une situation où tous les numéros n'ont pas la même probabilité d'apparition.

Dans une situation d'équiprobabilité, soient :

• A un événement composé de n événements élémentaires ;
• N le nombre de résultats possibles (univers).

Alors,

${\displaystyle p(A)={\frac {n}{N}}}$.

Dans le cas d'un lancer de dé équilibré à six faces, calculer la probabilité d'obtenir un résultat pair.