Matrice/Matrice d'une application linéaire

Dans ce chapitre, E, F et G désignent des espaces vectoriels de dimensions finies sur un corps commutatif K, munis chacun d'une base :

$B=\left(e_{1},\dots ,e_{n}\right)$ une base de $E$ ;
$C=\left(f_{1},\dots ,f_{m}\right)$ une base de $F$ ;
$D$ une base de $G$ .

Définition

Théorème

Une application $u:E\to F$ est linéaire si et seulement s'il existe une matrice $A\in \mathrm {M} _{m,n}(K)$ telle que pour tout vecteur $x$ de $E$ :

si $X$ désigne la matrice colonne des coordonnées de $x$ dans la base B et $Y$ celle des coordonnées de $u(x)$ dans la base C, alors

Y=AX

.

De plus, cette matrice $A$ est alors unique : pour tout $j\in [\![1,n]\!]$ , sa $j$ -ème colonne est constituée des coordonnées de $u(e_{j})$ dans la base C.

Démonstration

Soit $u:E\to F$ s'écrivant matriciellement comme ci-dessus pour une certaine matrice $A$ . Alors, $u$ est clairement linéaire et pour tout $j\in [\![1,n]\!]$ , la $j$ -ème colonne de $A$ est constituée des coordonnées de $u(e_{j})$ dans la base C.

Réciproquement, soit $u:E\to F$ linéaire et soit $A=\left(a_{i,j}\right)\in \mathrm {M} _{m,n}(K)$ la matrice définie par : pour tout $j\in [\![1,n]\!]$ , la $j$ -ème colonne de $A$ est constituée des coordonnées de $u(e_{j})$ dans la base C.

Si $X={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ désigne la matrice colonne des coordonnées d'un vecteur $x\in E$ dans la base B et $Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}$ celle des coordonnées de $u(x)$ dans la base C, on a :

{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{m}y_{i}f_{i}&=u(x)\\&=u\left(\sum _{j=1}^{n}x_{j}e_{j}\right)\\&=\sum _{j=1}^{n}x_{j}u\left(e_{j}\right)\\&=\sum _{j=1}^{n}x_{j}\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}f_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}\right)f_{i}.\end{aligned}}

Ainsi, pour tout $i\in [\![1,m]\!]$ , $y_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}=(AX)_{i}$ donc $Y=AX$ .

Définition

Si $u:E\to F$ est linéaire alors la matrice $A$ ci-dessus est appelée la matrice de $u$ dans les bases B, C et notée $\mathrm {Mat} _{B,C}(u)$ .

Si $F=E$ et $C=B$ , on l'appelle la matrice de $u$ dans la base B.

On déduit immédiatement du théorème :

Corollaire

L'application $\mathrm {Mat} _{B,C}:\mathrm {L} (E,F)\to \mathrm {M} _{m,n}(K)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Exemples

Exemple 1

Soient :

$E=K^{4}$ , $F=K^{3}$ ;
B et C les bases canoniques ;
$u:E\to F,\;{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2x-3y+t\\4y+5z-2t\\-4x+7z\end{pmatrix}}$ .

Alors, $u(X)=AX$ pour

A:={\begin{pmatrix}2&-3&0&1\\0&4&5&-2\\-4&0&7&0\\\end{pmatrix}}

,

donc $u$ est linéaire et $\mathrm {Mat} _{B,C}(u)=A$ .

Exemple 2

Soient :

$E=K[X]$ (de dimension $n+1$ ) ;
$B=(X^{i})_{i\in [[0,n]]}$ ;
$u:E\to E,\;P\mapsto P'$ (dont on sait qu'elle est linéaire).

Pour tout $j\in [\![1,n]\!]$ , $u\left(X^{j}\right)=jX^{j-1}$ donc la matrice de $u$ dans la base B est :

{\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &\cdots &0\\\vdots &\ddots &2&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &&&\ddots &n-2&0\\\vdots &&&&\ddots &n-1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0\\\end{pmatrix}}

.

Matrice de la composée de deux applications linéaires

La matrice de la composée de deux applications linéaires est égale au produit des matrices de ces deux applications linéaires :

Proposition

Soient $u:E\to F$ et $v:F\to G$ deux applications linéaires. Alors,

\mathrm {Mat} _{B,D}(v\circ u)=\mathrm {Mat} _{C,D}(v)\;\mathrm {Mat} _{B,C}(u)

.

Démonstration

Pour tout $j\in [\![1,n]\!]$ , la $j$ -ème colonne de $\mathrm {Mat} _{B,D}(v\circ u)$ est constituée des coordonnées dans D de $v(u(e_{j}))$ , c'est-à-dire du produit (à gauche) par $\mathrm {Mat} _{C,D}(v)$ de la matrice colonne des coordonnées dans C de $u(e_{j})$ . Or cette matrice colonne est la $j$ -ème colonne de $\mathrm {Mat} _{B,C}(u)$ . Par définition du produit matriciel, $\mathrm {Mat} _{B,D}(v\circ u)$ coïncide donc, colonne par colonne, avec le produit $\mathrm {Mat} _{C,D}(v)\;\mathrm {Mat} _{B,C}(u)$ .

On en déduit, comme annoncé au chapitre 4 :

Corollaire

Le produit matriciel est associatif.

Démonstration

Soient $P\in \mathrm {M} _{m,n}(K)$ , $Q\in \mathrm {M} _{n,p}(K)$ et $R\in \mathrm {M} _{p,q}(K)$ . Notons $u:K^{q}\to K^{p}$ , $v:K^{p}\to K^{n}$ et $w:K^{n}\to K^{m}$ les applications linéaires de matrices respectives $R$ , $Q$ et $P$ dans les bases canoniques. D'après la proposition précédente, la matrice de $w\circ (v\circ u)=(w\circ v)\circ u$ dans les bases canoniques est égale à la fois à $P(QR)$ et à $(PQ)R$ .

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