Mathématiques financières/Exercices/Valeur acquise d'une suite de versements en progression arithmétique

On considère une suite de versements sur un compte rémunéré à un taux constant $i$ mais le montant des versements, au lieu d'être fixe, est en progression arithmétique.

Les données du problèmes sont illustrées par l'exemple suivant : une personne place de l'argent sur un compte d'épargne rémunéré à 5 % l'an. Elle verse 1 000 € la première année et augmente chaque versement ultérieur de 50 €. Les 5 premiers versements sont donc de 1 000 €, 1 050 €, 1 100 €, 1 150 € et 1 200 €. De quelle somme disposera-t-elle quand le cinquième versement sera effectué ? Dans cet exemple simple, il suffit de capitaliser 4 fois 1 000 €, 3 fois 1 050 €, 2 fois 1 100 €, une seule fois 1 150 € et aucune fois 1 200 €, ce qui donne donc :

1 215,506 25 + 1 215,506 25 + 1 212,75 + 1 207,5 + 1 200 = 6 051,2625 soit 6 051,26 €.

Revenons au cas général. On notera $a=a_{1}$ le montant du premier versement, $r$ la raison de la suite arithmétique $\left(a_{n}\right)_{n\geq 1}$ des versements, et l'on cherche à calculer la valeur totale $V_{n}$ acquise lors du $n$ -ième versement. Cette somme est illustrée sur le schéma suivant :

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Les paramètres sont donc $i$ , $a$ et $r$ mais au cours des calculs, on allègera les notations en posant $q=1+i$ .

Démontrer que $V_{n+1}=qV_{n}+a_{n}+r$ .
On pose $u_{n}=V_{n}-V_{n-1}+{\frac {r}{i}}$ . Vérifier que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geq 1}$ est géométrique de raison $q$ .
En calculant de deux façons la somme $u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{2}+u_{1}$ , en déduire l'expression de $V_{n}$ en fonction de $n$ et des paramètres.
Vérifier la formule obtenue, sur l'exemple donné en introduction.
Que donne cette même formule si $r=0$ ?

Solution

$V_{n+1}=qV_{n}+a_{n+1}$ et $a_{n+1}=a_{n}+r$ .
$u_{n+1}=V_{n+1}-V_{n}+{\frac {r}{i}}=qV_{n}+a_{n}+r-\left(qV_{n-1}+a_{n}\right)+{\frac {r}{i}}=q\left(V_{n}-V_{n-1}\right)+\left(i+1\right){\frac {r}{i}}=q\left(V_{n}-V_{n-1}+{\frac {r}{i}}\right)=qu_{n}$ .
$u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{2}+u_{1}$ est égal d'une part (par définition) à $V_{n}-V_{n-1}+V_{n-1}-V_{n-2}+\dots +V_{2}-V_{1}+V_{1}-V_{0}+{\frac {nr}{i}}=V_{n}-0+{\frac {nr}{i}}$ et d'autre part (d'après la question précédente) à $u_{1}\left(1+q+q^{2}+\dots +q^{n-1}\right)=\left(a+{\frac {r}{i}}\right){\frac {q^{n}-1}{q-1}}$ , donc $V_{n}=\left(a+{\frac {r}{i}}\right)\;{\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}-{\frac {nr}{i}}$ .
$V_{5}=\left(1000+{\frac {50}{0{,}05}}\right){\frac {\left(1+0{,}05\right)^{5}-1}{0{,}05}}-{\frac {5\times 50}{0{,}05}}=2000\times 5{,}52563125-5000=6051{,}2625$ .
Si $r=0$ , on retrouve la formule du cours pour la valeur acquise par versements constants : $V_{n}=a\;{\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}$ .

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