Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle contenant a ou dont a est une borne.
« FI » signifie que la forme est indéterminée. Il faut transformer l'écriture de la fonction pour trouver une forme qui permet de calculer la limite.
Limite d'une somme
Limite d'un produit
Pour déterminer le signe des limites en bleu, on se réfèrera à la règle des signes.
Limite d'un quotient
Pour déterminer le signe des limites en bleu, on se réfèrera, comme précédemment, à la règle des signes.
Limite de la composée
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Les lettres a, b et c désignent chacune soit un nombre réel, soit , soit .
Soit la fonction composée définie sur un intervalle contenant , ou dont est une borne.
Interprétation schématique
Exemple de la racine carrée
Rédaction à tenir
Prenons un premier exemple :
![](../../I/Oxygen480-apps-preferences-desktop-icons.svg.png.webp)
On recherche la limite de la fonction en .
![](../../I/Tango_atom.svg.png.webp)
Pour trouver la limite d'une composée, il faut procéder en plusieurs temps pour procéder proprement.
- Tout d’abord, on isole les différentes fonctions en jeu dans la composition. Ici, il s'agit des fonctions et de la fonction racine carrée :
- On donne un nom au terme le plus « à l'intérieur » de la composition. Ici, il s'agit de . Appelons-le X.
- On commence par étudier la limite du terme le plus à l'intérieur.
- Lorsqu'on fait tendre x vers , la grandeur tend vers 2, c'est-à-dire que X tend vers 2.
- On procède ensuite à la deuxième étape : on applique à X la deuxième fonction, ici la racine carrée. On cherche alors à savoir vers quoi tend lorsque X tend vers 2.
- La combinaison de ces deux étapes donne bien le résultat global :
- Le fait de prendre la limite quand X tend vers 2 ou quand x tend vers revient au même (cf première étape)
- Il suffit de remplacer X par son expression en x pour revenir à l'écriture de départ
Deuxième exemple
Appliquons cette méthode dans le cas suivant :
![](../../I/Oxygen480-apps-preferences-desktop-icons.svg.png.webp)
On recherche la limite de la fonction en 0+.
- On pose
Donc |
Troisième exemple
![](../../I/Oxygen480-apps-preferences-desktop-icons.svg.png.webp)
On recherche la limite de la fonction en .
On peut schématiser le problème par :
Plus formellement :
- ;
- .
Par composition de limites : .