Règle des signes

Propriété

• Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif.
• Le produit de deux nombres de signe contraire est un nombre négatif.

Cette règle peut être résumée par le tableau suivant :

Exemple

• ${\displaystyle 3\times 5=15}$

Le résultat est positif car les deux facteurs sont tous les deux positifs.

• ${\displaystyle (-6)\times (-3)=18}$

Le résultat est positif car les deux facteurs sont tous les deux négatifs.

• ${\displaystyle (-4)\times 7=-28}$

Le résultat est négatif car les deux facteurs sont de signes différents.

• ${\displaystyle 8\times (-2)=-16}$

Le résultat est négatif car les deux facteurs sont de signes différents.

Produits particuliers

Pour tout nombre relatif a

• ${\displaystyle 1\times a=a\times 1=a}$
• ${\displaystyle (-1)\times a=a\times (-1)=-a}$
• ${\displaystyle 0\times a=a\times 0=0}$
• ${\displaystyle a^{2}=a\times a}$ est toujours positif

Inverse et division

Calculons :

${\displaystyle 5\times 0,5=2,5}$

${\displaystyle 5\div 2=2,5}$

Donc multiplier par 0,5 revient à diviser par 2, car 2 est l’inverse de 0,5.

Théorème

Diviser par un nombre relatif revient à multiplier par son inverse.

Exercices :

Transformer en multiplications les calculs ci-dessous à l’exemple du premier calcul :

${\displaystyle 10\div 4=10\times 0,25}$

${\displaystyle -15\div 5=.................}$

${\displaystyle 222\div (-10)=................}$

${\displaystyle -25\div (-2)=.................}$

${\displaystyle -24\div 100=..................}$

Solution

${\displaystyle -15\div 5=-15\times 0.2}$

${\displaystyle 222\div (-10)=222\times (-0,1)}$

${\displaystyle -25\div (-2)=-25\times (-0.5)}$

${\displaystyle -24\div 100=-24\times 0.01}$

Règle des signes

Comme un nombre et son inverse ont même signe, la règle des signes pour la division sera la même que celle de la multiplication.

Propriété

• Le quotient de deux nombres de même signe est un nombre positif.
• Le quotient de deux nombres de signe contraire est un nombre négatif.

Exemple

• ${\displaystyle {7 \over 2}=3,5}$

Le résultat est positif car le numérateur et le dénominateur sont tous les deux positifs.

• ${\displaystyle {(-6) \over (-3)}=2}$

Le résultat est positif car le numérateur et le dénominateur sont tous les deux négatifs.

• ${\displaystyle {(-1) \over 8}=-0,125}$

Le résultat est négatif car le numérateur et le dénominateur sont de signes différents.

• ${\displaystyle {5 \over (-3)}\simeq -1,6667}$

Le résultat est négatif car le numérateur et le dénominateur sont de signes différents.