Étude en +∞ et en -∞

Soit ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}_{f}}$ On met en facteur les termes de plus haut degré : ${\displaystyle {\frac {x^{2}-3x+2}{-3x^{2}+5x+2}}={\frac {x^{2}\left(1-{\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}\right)}{x^{2}\left(-3+{\frac {5}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}\right)}}={\frac {1-{\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}}{-3+{\frac {5}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }-{\frac {3}{x}}=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {2}{x^{2}}}=0}$

Donc ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }1-{\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}=1-0+0=1}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {5}{x}}=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {2}{x^{2}}}=0}$

Donc ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }-3+{\frac {5}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}=-3+0+0=-3}$

Donc ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {1-{\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}}{-3+{\frac {5}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}}}=-{\frac {1}{3}}}$, c'est-à-dire

De même, ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }1-{\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}=1}$ et ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }-3+{\frac {5}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}=-3}$

Étude en 1/3

On pose les deux fonctions suivantes sur ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}}$:

• ${\displaystyle N:x\mapsto x^{2}-3x+2}$
• ${\displaystyle D:x\mapsto -3x^{2}+5x+2}$

On a ainsi pour tout ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}_{f},~f(x)={\frac {N(x)}{D(x)}}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to -{\frac {1}{3}}}N(x)=N\left(-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {28}{9}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to -{\frac {1}{3}}}D(x)=D\left(-{\frac {1}{3}}\right)=0}$

On a devant nous une limite de la forme ${\displaystyle {\frac {l\not =0}{0}}}$. Il faut donc connaître le signe de f pour savoir si la limite vaut +∞ ou -∞, c'est-à-dire connaître les signes de N et D aux alentours de ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$.

• ${\displaystyle N\left(-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {28}{9}}}$ donc N est positive au voisinage de ${\displaystyle x=-{\frac {1}{3}}}$
• La fonction D est une fonction polynomiale du second degré. Son tableau de signes est le suivant :

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-{\frac {1}{3}}&&2&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~D(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}}}$

Nous pouvons à présent dire que :

• pour ${\displaystyle x<-{\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle D(x)<0}$ et ${\displaystyle N\left(-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {28}{9}}>0}$

• pour ${\displaystyle x\in \left]-{\frac {1}{3}};2\right[}$

${\displaystyle D(x)>0}$ et ${\displaystyle N\left(-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {28}{9}}>0}$

Étude en 2

• ${\displaystyle \lim _{x\to 2}N(x)=N(2)=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 2}D(x)=D(2)=0}$

Nous sommes a priori en présence d'une forme indéterminée de type « ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ ».

Il y a cependant un moyen simple de remédier à ce problème. Comme ${\displaystyle N(2)=0}$ et ${\displaystyle D(2)=0}$ et que N et D sont des fonctions polynomiales, il est possible de les factoriser toutes deux par x-2.

Pour trouver la factorisation, il y a plusieurs manières de faire.

• Utilisation des relations coefficients-racines (voir le cours sur les équations du second degré)

On sait qu'une racine de N est 2 et que le produit des racines vaut ${\displaystyle {\frac {c}{a}}=2}$.

On en déduit que pour tout ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}_{f},N(x)=(x-1)(x-2)}$

• Poser α la racine de N que l’on ne connaît pas et déduire α par identification de ${\displaystyle x^{2}-3x+2}$ et de ${\displaystyle (x-2)(x-\alpha )=x^{2}-(\alpha +2)x+2\alpha }$
• Trouver les racines par calcul du discriminant etc, ici DÉCONSEILLÉ car induit beaucoup de calcul pour retomber sur un résultat que l’on connaît déjà à moitié. Dans ce cas c’est une perte de temps.

La question 1 nous apprend directement que pour tout ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}_{f},~D(x)=-3(x-2)\left(x+{\frac {1}{3}}\right)}$

Finalement, soit ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}_{f}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {N(x)}{D(x)}}\\&={\frac {(x-1)(x-2)}{-3(x-2)\left(x+{\frac {1}{3}}\right)}}\\&={\frac {x-1}{-3x-1}}\end{aligned}}}$

On a fait disparaître la forme indéterminée. Il ne reste plus qu’à écrire la limite :

${\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)={\frac {2-1}{-3\times 2-1}}}$