Soit ${\displaystyle f:x\mapsto ax^{2}+bx+c}$ une fonction trinôme possédant deux racines x₁ et x₂. On a les deux relations suivantes, appelées relations coefficients-racines :

• ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}$ ;
• ${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$.

Supposons que l’on soit confronté au système (S) suivant, d'inconnues X et Y réelles ou complexes : ${\displaystyle (S)~:~{\begin{cases}X+Y=5\\XY=6\end{cases}}}$

Soit on voit que les couples (3,2) et (2,3) sont solution, soit on ne le voit pas...

Si on ne le voit pas, on suit la méthode suivante :

• Il existe une unique fonction polynomiale ${\displaystyle f:t\mapsto t^{2}+bt+c}$ dont les racines sont X et Y.
• Cette fonction f vérifie les relations coefficients-racines :
  • ${\displaystyle 5=X+Y=-b}$
  • ${\displaystyle 6=XY=c}$
• Donc pour tout ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ,~f(t)=t^{2}-5t+6}$
• Maintenant que l’on connaît f explicitement, on peut calculer ses racines (discriminant, etc.)
• On trouve finalement que les racines de f sont 2 et 3.
• Comme (S) est parfaitement symétrique en X et Y, l’ensemble des solutions de (S) est donc ${\displaystyle \{(2,3);(3,2)\}}$.