1. ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}\setminus \{1\}}$.
2. ${\displaystyle f}$ est continue sur ${\displaystyle ]x,x^{2}[}$ si ${\displaystyle x>1}$ (ou ${\displaystyle ]x^{2},x[}$ si ${\displaystyle 0<x<1}$) donc atteint sa valeur moyenne sur cet intervalle, si bien que

   ${\displaystyle I(x)-[\ln |t-1|]_{x}^{x^{2}}=\int _{x}^{x^{2}}f(t)\,\mathrm {d} t=(x^{2}-x)f(c)}$ pour un certain ${\displaystyle c\in ]x,x^{2}[}$ (ou ${\displaystyle ]x^{2},x[}$).

3. • ${\displaystyle I(x)=(x^{2}-x)f(c_{x})+\ln \left|{\frac {x^{2}-1}{x-1}}\right|={\frac {x^{2}-x}{c_{x}-1}}(c_{x}-1)f(c_{x})+\ln(x+1)}$ avec ${\displaystyle 0<{\frac {x^{2}-x}{c_{x}-1}}<x}$ et ${\displaystyle \lim _{x\to 1}c_{x}=1}$.
   • Quand ${\displaystyle c\to 1}$, ${\displaystyle {\frac {\ln c}{c-1}}\to \ln '(1)=1}$ donc ${\displaystyle (c-1)f(c)={\frac {c-1}{\ln c}}-1\to 0}$.
   • Par conséquent, ${\displaystyle \lim _{1}I=\ln 2}$.

Supposons ${\displaystyle f}$ non constamment nulle (sur son domaine de définition, ${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$).

Alors elle n'est pas de signe constant (sinon, ${\displaystyle f\times \sin }$ le serait aussi, ce qui ne se peut car, étant continue et d'intégrale nulle, elle serait constamment nulle, or ${\displaystyle \sin }$ ne s'annule qu'en ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle \pi }$). Il existe donc ${\displaystyle a,b\in \left[0,\pi \right]}$ tels que ${\displaystyle f(a)>0}$ et ${\displaystyle f(b)<0}$ donc entre les deux (par le théorème des valeurs intermédiaires), un point ${\displaystyle c\in \left]0,\pi \right[}$ en lequel ${\displaystyle f}$ s'annule.

Si c'était le seul, les restrictions de ${\displaystyle f}$ à ${\displaystyle \left]0,c\right[}$ et à ${\displaystyle \left]c,\pi \right[}$ seraient de signes constants et distincts donc la fonction ${\displaystyle \left[0,\pi \right]\to \mathbb {R} ,\ t\mapsto f(t)\sin(t-c)}$ serait de signe constant. C'est impossible car (par combinaison linéaire) son intégrale est nulle et ${\displaystyle \left[0,\pi \right]\to \mathbb {R} ,\ t\mapsto \sin(t-c)}$ ne s'annule qu'en ${\displaystyle c}$.

Par conséquent, ${\displaystyle f}$ s'annule en au poins deux points de ${\displaystyle \left]0,\pi \right[}$.

La valeur moyenne de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle [1,m]}$ est

${\displaystyle {\frac {F(m)}{m-1}}}$,

avec ${\displaystyle F(m)=\int _{1}^{m}f(x)\ \mathrm {d} x=\int _{0}^{m-1}f(1+y)\ \mathrm {d} y}$, à calculer.

${\displaystyle f(1+y)={\frac {y}{|y^{2}-1|+1}}={\begin{cases}{\frac {y}{2-y^{2}}}&{\text{si}}&|y|\leq 1\\{\frac {1}{y}}&{\text{si}}&|y|\geq 1\end{cases}}}$

donc

${\displaystyle F(m)={\begin{cases}-{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {2-(m-1)^{2}}{2}}\right)&{\text{si}}&m\in \left[0,2\right]\\\ln \left(|m-1|{\sqrt {2}}\right)&{\text{si}}&m\notin \left]0,2\right[.\end{cases}}}$

(La valeur commune aux deux cas se calcule grâce au premier cas : ${\displaystyle F(2)=F(0)=-{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1}{2}}\right)=\ln {\sqrt {2}}}$, et permet de calculer le second cas : ${\displaystyle \ln {\sqrt {2}}+\ln |m-1|=\ln \left(|m-1|{\sqrt {2}}\right)}$.)

1. 
   ${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{x}(f''(t)+f(t))\sin(t-a)\,\mathrm {d} t&=\int _{a}^{x}f''(t)\sin(t-a)\,\mathrm {d} t+\int _{a}^{x}f(t)\sin(t-a)\,\mathrm {d} t\\&=[f'(t)\sin(t-a)]_{a}^{x}-\int _{a}^{x}f'(t)\cos(t-a)\,\mathrm {d} t+\int _{a}^{x}f(t)\sin(t-a)\,\mathrm {d} t\\&=[f'(t)\sin(t-a)]_{a}^{x}-[f(t)\cos(t-a)]_{a}^{x}\end{aligned}}}$
   donc une primitive de ${\displaystyle \varphi }$ est
   ${\displaystyle x\mapsto f'(x)\sin(x-a)-f(x)\cos(x-a)}$.
2. ${\displaystyle \int _{a}^{b}\varphi =[f'(x)\sin(x-a)-f(x)\cos(x-a)]_{a}^{b}=f'(b)\sin(b-a)-f(b)\cos(b-a)+f(a)}$.
3. Supposons ${\displaystyle b-a=\pi }$. Alors, ${\displaystyle \int _{a}^{b}\varphi =f(b)+f(a)}$ et ${\displaystyle \varphi }$ est le produit de ${\displaystyle f+f''}$ par ${\displaystyle x\mapsto \sin(x-a)}$, qui est ${\displaystyle \geq 0}$ sur ${\displaystyle [a,b]}$.
   Par conséquent, si ${\displaystyle f+f''\leq 0}$ alors ${\displaystyle f(b)+f(a)\leq 0}$. On conclut par contraposition.