Exercice 18-1
Pour , on pose :
- .
1° En intégrant par parties, montrer que :
- .
2° Établir que :
- .
- En déduire que :
- .
3° L'entier étant fixé, démontrer par récurrence sur :
- .
- .
-
- .
- Grâce à la question 1, on en déduit : .
- est bien égal à , et l'hérédité est immédiate grâce à la formule de récurrence de la question précédente.
Exercice 18-2
1° Soient et . Pour , on pose :
- .
- Justifier cette notation.
- Déterminer la fonction dérivée de .
- En se limitant à , montrer qu'il existe un triplet , dépendant du couple , tel que
- .
- On distinguera les cas et . Dans la second cas, on montrera qu'il existe une solution et une seule, à savoir :
2° Pour et , donner une expression de :
- dans laquelle n'intervient aucun signe d'intégration.
- (On mettra la fonction sous la forme .)
-
- La fonction est définie et continue sur donc intégrable sur pour tout , et égale à la dérivée de .
- Les deux fonctions à égaler coïncident toujours en donc pour qu'elles soient égales aussi sur , il faut et il suffit que leurs dérivées le soient, c'est-à-dire (après division par ) :
. Ceci équivaut à
, ou encore :
. Par conséquent :- si , l'unique solution est celle indiquée dans l'énoncé ;
- si , les solutions sont avec (celle indiquée correspond alors à ).
- pour donc
.
On a alors :
.
Exercice 18-3
Pour tout entier naturel , on considère la fonction définie par :
- .
1° Prouver que est croissante et majorée par .
2° Soit :
- .
- Prouver que :
- .
3° En déduire en fonction de .
4° Étudier la limite de la suite .
- et .
.- et donc
. - donc , ce qui prouve que .
Exercice 18-4
Pour tout entier , on considère , définie par :
- .
1° Calculer et .
2° Calculer en intégrant par parties :
- .
3° Étudier la limite en de la suite .
-
- .
- .
- donc .
- donc .
Exercice 18-5
On pose, pour et entiers naturels :
- .
1° Calculer .
2° Justifier l'existence de si (le cas et est plus délicat mais sera justifié dans la suite de l'exercice).
3° Prouver que si :
- .
4° En déduire .
- .
- La fonction est continue sur , et prolongeable par continuité en si car (Fonction logarithme/Croissances comparées#Comparaison entre ln(x) et x en 0⁺).
- (y compris si ).
- (y compris si ).
Exercice 18-6
Soit la fonction définie par :
- .
1° Calculer les dérivées première et seconde de et en déduire, par récurrence, la dérivée d'ordre .
2° Étudier les variations de la fonction définie par :
- où est un entier relatif. Tracer les courbes représentatives , et des fonctions , et .
3° On pose :
- .
- Calculer en fonction de et , et établir la relation :
- .
- Par récurrence, (la fonction définie dans la question suivante). En effet, c'est immédiat pour , et l'hérédité vient du fait que .
- a un minimum en . Elle est décroissante avant et croissante après. Ses limites en et sont respectivement et .
Les courbes représentatives , et sont alors : - .
Exercice 18-7
Soit un entier naturel. Pour tout entier naturel , on pose :
- .
Pour , comparer et .
En déduire en fonction de .
En intégrant par parties, on obtient :
- ,
ce qui se traduit par :
- .
On a donc :
- .