${\displaystyle f}$ est définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{(2k+1)\pi \mid k\in \mathbb {Z} \right\}}$, qui est la réunion de tous les intervalles ${\displaystyle I_{k}:=\left](2k-1)\pi ,(2k+1)\pi \right[}$ pour ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

Une intégration par parties donne ${\displaystyle \int f=[\sin x\ln(1+\cos x)]+\int {\frac {\sin ^{2}}{1+\cos }}}$, or ${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}}{1+\cos }}={\frac {1-\cos ^{2}}{1+\cos }}=1-\cos }$.

Une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle I_{k}}$ est donc ${\displaystyle F:x\mapsto \sin x\ln(1+\cos x)+x-\sin x}$.

${\displaystyle f}$ est définie sur ${\displaystyle \left[1,+\infty \right[}$.

Une intégration par parties donne ${\displaystyle \int f=[xf(x)]-\int xf'(x)\,\mathrm {d} x=[xf(x)]-\int {\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\,\mathrm {d} x}$.

Une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \left[1,+\infty \right[}$ est donc ${\displaystyle F:x\mapsto xf(x)-{\sqrt {x^{2}-1}}}$.

${\displaystyle f}$ est définie sur ${\displaystyle \left]0,+\infty \right[}$. Sur cet intervalle, une simple intégration par parties donne une primitive de ${\displaystyle f}$ : ${\displaystyle F(x)={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\ln x-{\frac {x^{\alpha +1}}{(\alpha +1)^{2}}}}$.

En enchaînant deux intégrations par parties, on trouve une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ : ${\displaystyle F(x)=\left(x^{2}-2x+2\right)\operatorname {e} ^{x}}$.

Une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est ${\displaystyle F=f/3}$.

Une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est ${\displaystyle F:x\mapsto -\operatorname {e} ^{-x^{2}}/2}$.

Une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est ${\displaystyle F:x\mapsto \ln \left(1+\mathrm {e} ^{x}\right)}$.

Sur chacun des quatre intervalles ${\displaystyle \left]-\infty ,-1\right[}$, ${\displaystyle \left]-1,0\right[}$, ${\displaystyle \left]0,1\right[}$ et ${\displaystyle \left]1,+\infty \right[}$, une primitive de ${\displaystyle f=u'/u}$ avec ${\displaystyle u(x)=\ln |x|}$ est ${\displaystyle F=\ln |u|}$.

Une primitive sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ de ${\displaystyle f=\ln '\times \cos \circ \ln }$ est ${\displaystyle F=\sin \circ \ln }$.

Une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est ${\displaystyle F:x\mapsto \operatorname {e} ^{\sin x}}$.

Une primitive sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ de ${\displaystyle f=\ln '\ln ^{k}}$ est ${\displaystyle F={\frac {\ln ^{k+1}}{k+1}}}$.

Sur chaque intervalle ${\displaystyle \left]k\pi -{\frac {\pi }{2}},k\pi +{\frac {\pi }{2}}\right[}$ (avec ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$), une primitive de ${\displaystyle f={\frac {\tan '}{2}}\times \exp \circ \tan }$ est ${\displaystyle F={\frac {\exp \circ \tan }{2}}}$.

Sur ${\displaystyle \left]0,+\infty \right[}$,

${\displaystyle F(x)=-2\int _{x}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {e} ^{t}-\mathrm {e} ^{-t}}}=-2\int _{x}^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{t}\;\mathrm {d} t}{(\mathrm {e} ^{t})^{2}-1}}=-2\int _{\mathrm {e} ^{x}}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} y}{y^{2}-1}}=\int _{\mathrm {e} ^{x}}^{+\infty }\left({\frac {1}{y+1}}-{\frac {1}{y-1}}\right)\;\mathrm {d} y=\ln {\frac {\mathrm {e} ^{x}-1}{\mathrm {e} ^{x}+1}}=\ln \tanh {\frac {x}{2}}}$

donc (par imparité de ${\displaystyle f}$) sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$,

${\displaystyle F(x)=\ln \tanh {\frac {|x|}{2}}}$.